2018-全国卷I文-06 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及导数的几何意义与切线方程。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）设函数 $f(x)=x^3+(a-1)x^2+ax$. 若 $f(x)$ 为奇函数，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 ()

A. $y=-2x$　　　　B. $y=-x$　　　　C. $y=2x$　　　　D. $y=x$

🔍【思路分析】

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1. 根据奇函数的定义 $f(-x)=-f(x)$ 或利用奇函数不含偶次项的性质求出参数 $a$ 的值。
2. 确定函数解析式后求导，计算在点 $(0,0)$ 处的切线斜率。
3. 写出切线方程。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)=x^3+(a-1)x^2+ax$ 为奇函数， 所以其偶次项的系数必须为零，即 $a-1=0⟹a=1$。 （或者代入 $f(-x)=-f(x)$ 验证：$(-x{)}^3+(a-1)(-x{)}^2+a(-x)=-[x^3+(a-1)x^2+ax]⟹-x^3+(a-1)x^2-ax=-x^3-(a-1)x^2-ax⟹(a-1)x^2=-(a-1)x^2⟹2(a-1)x^2=0⟹a=1$）。 此时函数为 $f(x)=x^3+x$。 求导得： $f^{\prime }(x)=3x^2+1$ 在点 $(0,0)$ 处的切线斜率为： $k=f^{\prime }(0)=3(0{)}^2+1=1$ 因为切点为 $(0,0)$，所以切线方程为 $y-0=1(x-0)⟹y=x$。 故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性性质、导数的几何意义。
2. 核心方法：奇函数偶次项系数为零。
3. 避坑指南：求切线方程时要明确切点坐标，若切点在曲线上直接代入导数求斜率。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数与导数基础结合题。
2. 结论推广: 多项式函数若为奇函数，则所有偶次项系数均为零。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2008-江苏卷-08 填-切线求参数