2018-全国卷I文-15 填-直线与圆

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及圆的弦长公式。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）直线 $y=x+1$ 与圆 $x^2+y^2+2y-3=0$ 交于 $A,B$ 两点，则 $|AB|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标和半径 $r$。
2. 利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 $d$。
3. 利用弦长公式 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$ 计算弦长。

✅【答案】

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$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

将圆的方程配方： $x^2+(y+1{)}^2=4$ 可知圆心坐标为 $C(0,-1)$，半径 $r=2$。 直线方程化为一般式：$x-y+1=0$。 圆心 $C(0,-1)$ 到直线 $x-y+1=0$ 的距离为： $d=\frac{|0-(-1)+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ 由弦长公式可得： $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{2^2-(\sqrt{2}{)}^2}=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}$ 答案：$2\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆的位置关系、弦长公式。
2. 核心方法：半弦长、圆心到直线距离与半径构成的直角三角形法。
3. 避坑指南：计算圆心到直线距离时，注意点坐标的正负号，防止代入错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解析几何圆的基础大题或填空题。
2. 结论推广: 弦长公式 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$ 是解析几何中解决弦长问题的核心工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-09 填-弦长问题
• 2014-重庆卷理-13 填-直线与圆
• 2009-重庆卷理-13