2014-江苏卷-09 填-弦长问题

本题导读

本题考查直线被圆截得的弦长计算。核心在于构造由半径、圆心到直线的距离以及半弦长组成的直角三角形，利用勾股定理求解。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $x+2y-3=0$ 被圆 $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=4$ 截得的弦长为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 识别圆的基本要素：由圆的方程可知圆心 $C(2,-1)$，半径 $r=2$。
2. 计算弦心距 $d$：利用点到直线的距离公式，计算圆心 $C$ 到直线 $x+2y-3=0$ 的距离。
3. 利用垂径定理：在圆中，半径 $r$、弦心距 $d$ 与半弦长 $l$ 构成直角三角形，满足 $r^2=d^2+l^2$。
4. 计算弦长：弦长 $L=2l=2\sqrt{r^2-d^2}$。

✅【答案】

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$\frac{2\sqrt{55}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定圆心与半径 圆的方程为 $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=4$， 得圆心 $C(2,-1)$，半径 $r=2$。

第二步：计算圆心到直线的距离 $d$ 直线方程为 $x+2y-3=0$， 根据点到直线的距离公式： $d=\frac{|1\times 2+2\times (-1)-3|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|2-2-3|}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$

第三步：利用勾股定理求弦长 设直线被圆截得的弦长为 $L$，由垂径定理得： ${\left(\frac{L}{2}\right)}^2=r^2-d^2$ ${\left(\frac{L}{2}\right)}^2=2^2-{\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)}^2=4-\frac{9}{5}=\frac{11}{5}$ 故半弦长 $\frac{L}{2}=\sqrt{\frac{11}{5}}=\frac{\sqrt{55}}{5}$。 则弦长 $L=2\times \frac{\sqrt{55}}{5}=\frac{2\sqrt{55}}{5}$。

故答案为 $\frac{2\sqrt{55}}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆相交时的弦长计算公式 $L=2\sqrt{r^2-d^2}$。

2. 核心方法：几何性质法。利用圆的对称性和垂径定理将代数问题转化为直角三角形的边角关系，避免了联立方程的复杂计算。

3. 避坑指南：计算点到直线距离时，分母是系数平方和的算术平方根，不要漏写根号；最后结果记得要乘以 $2$，因为公式求出的是半弦长。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆的标准方程与一般方程、点到直线的距离公式。

2. 结论推广: 圆的弦长 $L=2\sqrt{r^2-d^2}$，其中 $d$ 为弦心距。

3. 方法推广: 对于抛物线、椭圆等圆锥曲线的弦长问题，通常需要联立方程并结合韦达定理使用弦长公式 $L=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$，但圆的问题优先使用几何法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷文-05 单-圆弦长