2018-全国卷I文-16 填-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理，以及三角形的面积公式。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）$△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $b\sin C+c\sin B=4a\sin B\sin C$，$b^2+c^2-a^2=8$，则 $△ABC$ 的面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用正弦定理将已知条件中的正弦转化为边长，化简得出边之间的关系。
2. 利用余弦定理将 $b^2+c^2-a^2$ 转化为 $\cos A$ 的表达式，进而求出 $\cos A$ 及 $\sin A$。
3. 利用三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 计算面积。

✅【答案】

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$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}=2R$（$R$ 为外接圆半径）， 可将 $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$, $a=2R\sin A$ 代入已知条件： $b\sin C+c\sin B=4a\sin B\sin C$ $⟹2R\sin B\sin C+2R\sin C\sin B=4(2R\sin A)\sin B\sin C$ $⟹4R\sin B\sin C=8R\sin A\sin B\sin C$。 因为在 $△ABC$ 中 $\sin B>0,\sin C>0$，两边同除以 $4R\sin B\sin C$ 得： $1=2\sin A⟹\sin A=\frac{1}{2}$ 又因为 $A$ 为三角形内角，所以 $A=\frac{\pi }{6}$ 或 $A=\frac{5\pi }{6}$。 由余弦定理： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 已知 $b^2+c^2-a^2=8$，代入得： $\cos A=\frac{8}{2bc}=\frac{4}{bc}⟹bc=\frac{4}{\cos A}$ 若 $A=\frac{\pi }{6}$，则 $\sin A=\frac{1}{2},\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，此时 $bc=\frac{8}{\sqrt{3}}$， 三角形面积为： $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times \frac{8}{\sqrt{3}}\times \frac{1}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 若 $A=\frac{5\pi }{6}$，则 $\cos A=-\frac{\sqrt{3}}{2}<0$（与 $bc>0$ 矛盾，舍去）。 答案：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正余弦定理、三角形面积公式。
2. 核心方法：边角互化与整体代换。
3. 避坑指南：通过余弦定理求出 $\cos A$ 后，要注意结合三角形内角范围及 $bc>0$ 筛选出合法的角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解三角形常考填空压轴题。
2. 结论推广: 遇到含有边和正弦混合的三角等式，优先考虑正弦定理进行“边化角”或“角化边”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2008-大纲卷I文-17 解-解三角形求边周长
• 2008-大纲卷II文-17 解-解三角形求角面积