2008-大纲卷II文-17 解-解三角形求角面积

本题导读

考查解三角形。由同角关系得 $\sin A=\frac{12}{13}$、$\sin B=\frac{4}{5}$，$\sin C=\sin (A+B)=\frac{16}{65}$；正弦定理求 $b=\frac{13}{3}$，面积 $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{8}{3}$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 在 $△ABC$ 中，$\cos A=-\frac{5}{13}$，$\cos B=\frac{3}{5}$.

(1)求 $\sin C$ 的值；

(2)设 $BC=5$，求 $△ABC$ 的面积.

🔍【思路分析】

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1. 由 $\cos A<0$ 知 $A$ 为钝角，$\sin A=\frac{12}{13}$；$\cos B=\frac{3}{5}$ 知 $B$ 为锐角，$\sin B=\frac{4}{5}$。
2. $C=\pi -(A+B)$，$\sin C=\sin (A+B)$。
3. $BC=a=5$，正弦定理求 $b$。
4. $S=\frac{1}{2}ab\sin C$。

✅【答案】

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(1)$\sin C=\frac{16}{65}$；(2)$△ABC$ 的面积为 $\frac{8}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由 $\cos A=-\frac{5}{13}$ 且 $A\in (0,\pi )$，知 $A$ 为钝角， $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{12}{13}.$ 由 $\cos B=\frac{3}{5}$ 且 $B$ 为锐角， $\sin B=\frac{4}{5}.$ 因为 $C=\pi -(A+B)$，所以 $\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B=\frac{12}{13}\times \frac{3}{5}+\left(-\frac{5}{13}\right)\times \frac{4}{5}=\frac{36-20}{65}=\frac{16}{65}.$ (2)$BC=a=5$. 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{5\times \frac{4}{5}}{\frac{12}{13}}=\frac{13}{3}.$ 所以 $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times 5\times \frac{13}{3}\times \frac{16}{65}=\frac{2\times 13\times 8}{3\times 13}=\frac{8}{3}.$ 故 $△ABC$ 的面积为 $\frac{8}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形：和角公式与正弦定理

核心方法：$\sin C=\sin (A+B)=\frac{16}{65}$，$b=\frac{13}{3}$，$S=\frac{8}{3}$

避坑指南：$\cos A<0$ 说明 $A$ 是钝角，$\sin A$ 取正；$\sin C=\sin (A+B)$ 是因为 $C=\pi -(A+B)$；求面积用 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$，$a$、$b$ 必须是 $C$ 的两条邻边。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形首问套路：已知两角余弦求第三角正弦，2009 大纲Ⅱ文第 18 题、2010 大纲Ⅱ文第 17 题同型。

结论推广：$\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$；$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$；$S=\frac{1}{2}ab\sin C$。

方法推广：先由角的范围定符号再开方；求 $b$ 用正弦定理一次到位；面积公式中边与角的配对关系（$C$ 的邻边）别配错。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-18 解-解三角形求角
• 2010-大纲卷II文-17 解-解三角形求边
• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2009-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形