2018-全国卷I文-19 解-频率分布直方图

本题导读

本题考查频数分布表与频率分布直方图。核心在于统计图表分析法、频率估计概率法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位: ${\text{m}}^3$) 和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

(1) 在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图；

(2) 估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 $0.35{\text{ m}}^3$ 的概率；

(3) 估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.）

🔍【思路分析】

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1. 根据使用了节水龙头的频数分布表，计算各组的频率（频率 = 频数 $÷$ 样本容量 50），再除以组距（0.1）得到纵坐标“频率/组距”，从而绘制直方图。

2. 计算使用了节水龙头后日用水量小于 $0.35{\text{ m}}^3$ 的总频数（或频率），利用频率估计概率。

3. 分别计算未使用和使用节水龙头 50 天的总用水量的平均值，求出平均每天节约的水量，再乘以 365 天得出一年节省的水量。

✅【答案】

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(1) 图略（六个矩形高度分别为 $0.2,1.0,2.6,2.0,3.2,1.0$）

(2) $P=0.48$

(3) $47.45{\mathrm{m}}^3$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 直方图中各小组的“频率/组距”计算如下（样本容量 $n=50$, 组距 $=0.1$）：

• $[0,0.1)$：频数 $1$，频率 $=0.02$，$\text{频率/组距}=0.2$；

• $[0.1,0.2)$：频数 $5$，频率 $=0.10$，$\text{频率/组距}=1.0$；

• $[0.2,0.3)$：频数 $13$，频率 $=0.26$，$\text{频率/组距}=2.6$；

• $[0.3,0.4)$：频数 $10$，频率 $=0.20$，$\text{频率/组距}=2.0$；

• $[0.4,0.5)$：频数 $16$，频率 $=0.32$，$\text{频率/组距}=3.2$；

• $[0.5,0.6)$：频数 $5$，频率 $=0.10$，$\text{频率/组距}=1.0$.

（注：在直方图中依此画出高度分别为 $0.2,1.0,2.6,2.0,3.2,1.0$ 的六个矩形。）

(2) 使用节水龙头后，日用水量小于 $0.35{\text{ m}}^3$ 的数据包含：

• $[0,0.1),[0.1,0.2),[0.2,0.3)$ 的全部频数（共 $1+5+13=19$）；

• $[0.3,0.4)$ 的一半频数（因为 $0.35$ 是该组的中点，频数为 $10$，故占一半即 $5$）。

总频数为 $19+5=24$.

因此，日用水量小于 $0.35{\text{ m}}^3$ 的概率估计值为：

$P=\frac{24}{50}=0.48$

(3) 分别计算未使用和使用节水龙头 50 天的总用水量估计值：

• 未使用节水龙头的总用水量：

${\bar{x}}_1\times 50=0.05\times 1+0.15\times 3+0.25\times 2+0.35\times 4+0.45\times 9+0.55\times 26+0.65\times 5$

$=0.05+0.45+0.50+1.40+4.05+14.30+3.25=24.00({\text{m}}^3)$

平均每天用水量为 $\frac{24.00}{50}=0.48{\text{ m}}^3$.

• 使用节水龙头的总用水量：

${\bar{x}}_2\times 50=0.05\times 1+0.15\times 5+0.25\times 13+0.35\times 10+0.45\times 16+0.55\times 5$

$=0.05+0.75+3.25+3.50+7.20+2.75=17.50({\text{m}}^3)$

平均每天用水量为 $\frac{17.50}{50}=0.35{\text{ m}}^3$.

• 平均每天节省的水量为 $0.48-0.35=0.13{\text{ m}}^3$.

• 一年（365天）节省的水量为：

$0.13\times 365=47.45({\text{m}}^3)$

答：一年能节省 $47.45{\text{ m}}^3$ 的水。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图绘制、频率与概率估计、样本平均数的应用。

2. 核心方法：利用区间中点值估计总量。

3. 避坑指南：绘制直方图时纵轴是“频率/组距”，计算概率或频数时注意区间范围的划分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考统计与概率解答题的常考基础题型。

2. 结论推广: 统计图表中利用中点值估计总体均值是处理分组数据的标准方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2005-江苏卷-07 单-样本平均数的计算

• 2006-重庆卷理-06 单-频数与频率的关系

• 2007-山东卷理-08 单-频率频数转化