2007-山东卷理-08 单-频率频数转化

本题导读

本题考查数据分析中的频率分布直方图的应用。通过解读直方图的纵轴物理意义，考查频率（面积）与样本频数（人数）之间的关系。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 某班 50 名 student 在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒；第二组，成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒；$\cdots$；第六组，成绩大于等于 18 秒且小于 19 秒. 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于 17 秒的学生人数占全班总人数的百分比为 $x$，成绩大于等于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 $y$，则从频率分布直方图中可分析出 $x$ 和 $y$ 分别为()

A. $0.9,35$　　　B. $0.9,45$　　　C. $0.1,35$　　　D. $0.1,45$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用前四组（小于 17 秒）的小矩形面积之和或用 1 减去最后两组的面积之和，求得百分比 $x$。

2. 算出 $[15,17)$ 区间内两组的频率之和，利用“频数 = 总人数 $\times$ 频率”求得人数 $y$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由频率分布直方图可知，组距为 $1$． 成绩小于 17 秒的频率即为前四组矩形面积之和： $x=(0.02+0.18+0.36+0.34)\times 1=0.90$． 成绩大于等于 15 秒且小于 17 秒的频率为中间两组矩形面积之和： $P=(0.36+0.34)\times 1=0.70$． 则对应的学生人数为 $y=50\times 0.70=35$． 综上所述，$x=0.9,y=35$． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图中矩形面积代表频率，所有矩形面积之和为 1，频数与频率的转换公式。

2. 核心方法：小矩形面积累加法，频数计算法。

3. 避坑指南：切记直方图的纵轴是 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$，计算频率时必须乘以组距。虽然本题组距恰好为 1，但在组距不为 1 的题目中不乘组距会导致彻底出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于人教版必修 3 统计章节中样本估计总体的经典课后习题，是高考考查统计图表识别的长盛题型。

5. 结论推广：在任何频率分布直方图中，区间 $[a,b]$ 对应的频率等于该区间内所有小矩形的面积之和，即 $P=\sum (\text{矩形高}\times \text{组距})$，且样本频数满足常数关系 $k=N\times P$（$N$ 为总样本量）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-02 单-两角和差