2018-全国卷I理-10 单-几何概型

本题导读

本题考查几何概型，以及勾股定理。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I理）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 $ABC$ 的斜边 $BC$，直角边 $AB$，$AC$.$△ABC$ 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为 II，其余部分记为 III.在整个图形中随机取一点，此点取自 I，II，III 的概率分别记为 $p_1$，$p_2$，$p_3$，则()

A. $p_1=p_2$　　B. $p_1=p_3$　　C. $p_2=p_3$　　D. $p_1=p_2+p_3$


🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化概率问题为面积问题：几何概型中，概率 $p_i=\frac{S_i}{S_{\text{总}}}$。要比较 $p_i$，只需比较各区域面积 $S_1,S_2,S_3$。
2. 设定基本量：设 $AC=b,AB=c,BC=a$，则 $a^2=b^2+c^2$。
3. 计算各区域面积：

• $S_{\text{I}}$：直角三角形面积 $\frac{1}{2}bc$。
• $S_{\text{II}}$（黑色月牙）：两个小半圆面积之和减去（大半圆面积减去三角形面积）。
• $S_{\text{III}}$：大半圆内除去三角形的部分。

4. 利用勾股定理化简：观察 $a,b,c$ 之间的面积转换关系。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】 设直角三角形 $ABC$ 的三边 $BC,AC,AB$ 分别为 $a,b,c$，由勾股定理得 $a^2=b^2+c^2$。 则三个半圆的面积分别为：

• 以 $AB$ 为直径的半圆面积 $S_{AB}=\frac{1}{2}\cdot \pi (\frac{c}{2}{)}^2=\frac{\pi c^2}{8}$
• 以 $AC$ 为直径的半圆面积 $S_{AC}=\frac{1}{2}\cdot \pi (\frac{b}{2}{)}^2=\frac{\pi b^2}{8}$
• 以 $BC$ 为直径的半圆面积 $S_{BC}=\frac{1}{2}\cdot \pi (\frac{a}{2}{)}^2=\frac{\pi a^2}{8}$

由于 $a^2=b^2+c^2$，显然有 $S_{BC}=S_{AB}+S_{AC}$。

分析区域面积：

1. 区域 I 的面积为 $S_1=S_{△ABC}=\frac{1}{2}bc$。
2. 区域 II（黑色部分）的面积 $S_2$ 等于两个小半圆面积之和减去空白部分的面积。 空白部分的面积为 $S_{BC}-S_{△ABC}$。 所以 $S_2=S_{AB}+S_{AC}-(S_{BC}-S_1)$。 代入 $S_{AB}+S_{AC}=S_{BC}$ 得： $S_2=S_{BC}-S_{BC}+S_1=S_1$。
3. 结论：因为 $S_1=S_2$，所以在相同总面积下，点落在区域 I 和区域 II 的概率相等，即 $p_1=p_2$。

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 希波克拉底月牙定理：这是一个非常迷人的几何结论。它证明了由曲线围成的图形面积可以等于由直线围成的图形面积（化圆为方的一种尝试）。
2. 整体思想：在计算 $S_2$ 时，不要陷入复杂的代数运算，而是利用“大减小”的割补思想，结合 $S_{小1}+S_{小2}=S_{大}$ 这一勾股定理的变体直接抵消。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记录：

• 一般结论：如果在直角三角形的三条边上分别向外作相似图形（如半圆、等边三角形、正方形），则两个直角边上的图形面积之和等于斜边上的图形面积。
• 本题变式：若半圆是向内作的，则产生的月牙面积之和正好等于原直角三角形的面积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.01 弧度制与扇形度量

类题演练 (Links)

• 2007-北京卷理-13 填-二倍角公式
• 2011-江苏卷-15 解-三角恒等变换与解三角形
• 2012年浙江卷理-16