2018-全国卷I理-19 解-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与性质。核心在于韦达定理法、坐标分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I理）设椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的右焦点为 $F$，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$.

(1) 当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $AM$ 的方程；

(2) 设 $O$ 为坐标原点，证明：$\angle OMA=\angle OMB$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（特殊位置）：

• 求出右焦点 $F(c,0)$，由方程知 $a^2=2,b^2=1⟹c=1$。
• 直线 $l:x=1$，代入椭圆方程求出 $A,B$ 的纵坐标。
• 已知 $A,M$ 两点坐标，用点斜式或两点式写出直线方程。

2. 第二问（定值/角相等证明）：

• 几何转化：$\angle OMA=\angle OMB$ 且 $A,B$ 分布在 $x$ 轴两侧，等价于证明直线 $MA$ 与 $MB$ 的倾斜角互补 $⟹k_{MA}+k_{MB}=0$。
• 联立方程：设 $l:y=k(x-1)$（需讨论斜率不存在的情况），代入椭圆方程。
• 韦达定理：得到 $x_1+x_2$ 和 $x_1{x}_2$ 的表达式。
• 代数化简：将 $k_{MA}+k_{MB}=\frac{y_1}{x_1-2}+\frac{y_2}{x_2-2}$ 中的 $y$ 用 $x$ 代换，通分后证明分子为 0。

✅【答案】

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(1) $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(x-2)$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 由椭圆方程 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 可得 $a^2=2,b^2=1$， 则 $c^2=a^2-b^2=1⟹c=1$。 所以右焦点 $F$ 的坐标为 $(1,0)$。 当 $l\perp x$ 轴时，直线 $l$ 的方程为 $x=1$。 代入椭圆方程得：$\frac{1}{2}+y^2=1⟹y^2=\frac{1}{2}⟹y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。 不妨取 $A(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$，已知 $M(2,0)$。 直线 $AM$ 的斜率 $k_{AM}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-0}{1-2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。 直线 $AM$ 的方程为 $y-0=-\frac{\sqrt{2}}{2}(x-2)$，即 $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{2}$。 同理，若取 $A(1,-\frac{\sqrt{2}}{2})$，方程为 $y=\frac{\sqrt{2}}{2}x-\sqrt{2}$。

(2)证明： ① 当 $l$ 与 $x$ 轴重合时，点 $A,B$ 在 $x$ 轴上，$\angle OMA=\angle OMB=0^{\circ }$，结论成立。 ② 当 $l\perp x$ 轴时，由(1)知 $A(1,\frac{\sqrt{2}}{2}),B(1,-\frac{\sqrt{2}}{2})$。 此时 $A,B$ 关于 $x$ 轴对称，且 $M$ 在 $x$ 轴上，显然 $△AMB$ 是等腰三角形，$\angle OMA=\angle OMB$。 ③ 当 $l$ 的斜率存在且不为 0 时，设 $l:y=k(x-1)$，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。 联立方程： $\{\begin{array}{l}y=k(x-1)\\ x^2+2y^2=2\end{array}⟹x^2+2k^2(x-1{)}^2=2$ 整理得：$(2k^2+1)x^2-4k^{2}x+2k^2-2=0$。 由韦达定理得：$x_1+x_2=\frac{4k^2}{2k^2+1}$，$x_1{x}_2=\frac{2k^2-2}{2k^2+1}$。

要证 $\angle OMA=\angle OMB$，只需证 $k_{MA}+k_{MB}=0$： $k_{MA}+k_{MB}=\frac{y_1}{x_1-2}+\frac{y_2}{x_2-2}=\frac{k(x_1-1)}{x_1-2}+\frac{k(x_2-1)}{x_2-2}$ $=k\cdot \frac{(x_1-1)(x_2-2)+(x_2-1)(x_1-2)}{(x_1-2)(x_2-2)}$ $=k\cdot \frac{2x_1{x}_2-3(x_1+x_2)+4}{(x_1-2)(x_2-2)}$ 将韦达定理代入分子： $2(\frac{2k^2-2}{2k^2+1})-3(\frac{4k^2}{2k^2+1})+4=\frac{4k^2-4-12k^2+8k^2+4}{2k^2+1}=0$。 所以 $k_{MA}+k_{MB}=0$，即直线 $MA,MB$ 关于 $x$ 轴对称。 故 $\angle OMA=\angle OMB$。

综上所述，$\angle OMA=\angle OMB$ 得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 斜率对称性模型：在坐标系中，若两条直线过 $x$ 轴上同一点且与 $x$ 轴夹角相等，则 $k_1=-k_2$。这是解析几何中证明“角相等”的最常用手段。
2. 计算简化：在化简 $k_{MA}+k_{MB}$ 时，分子通常能整除或相互抵消。若计算过程中发现 $k^2$ 项无法消去，应回过头检查联立方程或通分过程。
3. 分类讨论：解答题必须考虑 $l$ 斜率不存在的情况，虽然通常结论一致，但步骤分不能丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个通解技巧：

• 如果 $M$ 点坐标是 $(x_0,0)$，证明 $k_{MA}+k_{MB}=0$ 的本质是证明分子的代数式 $2k{x}_1{x}_2-(x_0+1)k(x_1+x_2)+2k{x}_0=0$。
• 关联知识：这与椭圆的极点、极弦理论有深刻联系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-08 单-椭圆性质
• 2013-安徽卷理-18 解-椭圆方程与性质
• 2013-山东卷理-22 解-椭圆方程与性质