2013-安徽卷理-18 解-椭圆方程与性质

本题导读

本题考查椭圆。核心在于待定系数法、坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(理)） 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{1-a^2}=1$ 的焦点在 $x$ 轴上.

(1)若椭圆 $E$ 的焦距为 $1$，求椭圆 $E$ 的方程；

(2)设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆的左、右焦点，$P$ 为椭圆 $E$ 上第一象限内的点，直线 $F_{2}P$ 交 $y$ 轴与点 $Q$，并且 $F_{1}P\perp F_{1}Q$，证明：当 $a$ 变化时，点 $P$ 在某定直线上.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（基本参数计算）：
   • 明确椭圆 $a^2$ 和 $b^2$：由于焦点在 $x$ 轴，则长轴长平方为 $a^2$，短轴长平方为 $1-a^2$。
   • 利用关系式 $c^2=a^2-b^2$：代入已知焦距 $2c=1$，解出 $a^2$ 和 $b^2$。
2. 第二问（轨迹证明）：
   • 设定坐标：设 $P(x_0,y_0)$ ($x_0>0,y_0>0$)。求出焦点坐标 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$，其中 $c^2=a^2-(1-a^2)=2a^2-1$。
   • 求 $Q$ 点：写出直线 $P{F}_2$ 的点斜式方程，令 $x=0$ 求出 $y_Q$，得到 $Q$ 点坐标。
   • 转化垂直条件：利用 $\overrightarrow{F_{1}P}\cdot \overrightarrow{F_{1}Q}=0$ 建立关于 $x_0,y_0,c$ 的代数式。
   • 联立曲线方程：将点 $P$ 在椭圆上的条件代入，消去参数 $c$ 或 $a$，寻找 $x_0,y_0$ 之间的线性关系。

✅【答案】

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$\frac{8x^2}{5}+\frac{8y^2}{3}=1$；结论；$x+y=1$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 由题意焦距 $2c=1$，则 $c=\frac{1}{2}$，$c^2=\frac{1}{4}$。 因为焦点在 $x$ 轴上，所以 $a^2>1-a^2$。 由椭圆性质得：$c^2=a^2-(1-a^2)=2a^2-1$。 代入 $c^2=\frac{1}{4}$，得 $2a^2-1=\frac{1}{4}⟹a^2=\frac{5}{8}$。 则 $b^2=1-a^2=\frac{3}{8}$。 故椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{5/8}+\frac{y^2}{3/8}=1$，即 $\frac{8x^2}{5}+\frac{8y^2}{3}=1$。

（Ⅱ）证明： 设 $P(x_0,y_0)$，焦距为 $c$，则 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$，其中 $c^2=2a^2-1$。 直线 $P{F}_2$ 的方程为：$\frac{y-0}{y_0-0}=\frac{x-c}{x_0-c}$，即 $y=\frac{y_0}{x_0-c}(x-c)$。 令 $x=0$，得 $y_Q=\frac{-c{y}_0}{x_0-c}$，故 $Q(0,\frac{-c{y}_0}{x_0-c})$。

由 $F_{1}P\perp F_{1}Q$ 得 $\overrightarrow{F_{1}P}\cdot \overrightarrow{F_{1}Q}=0$。 $\overrightarrow{F_{1}P}=(x_0+c,y_0)$，$\overrightarrow{F_{1}Q}=(0-(-c),y_Q-0)=(c,\frac{-c{y}_0}{x_0-c})$。 代入点乘公式： $(x_0+c)c+y_0\left(\frac{-c{y}_0}{x_0-c}\right)=0$ 两边约去 $c$ ($c\ne 0$) 得：$x_0+c-\frac{y_0^2}{x_0-c}=0⟹(x_0+c)(x_0-c)-y_0^2=0⟹x_0^2-c^2-y_0^2=0$。 即 $y_0^2=x_0^2-c^2$。 将 $c^2=2a^2-1$ 代入，得 $y_0^2=x_0^2-(2a^2-1)=x_0^2-2a^2+1(\ast )$。

又点 $P(x_0,y_0)$ 在椭圆上，有 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{1-a^2}=1$。 即 $(1-a^2)x_0^2+a^2{y}_0^2=a^2(1-a^2)$。 将 $(\ast )$ 式 $y_0^2$ 代入： $(1-a^2)x_0^2+a^2(x_0^2-2a^2+1)=a^2-a^4$ $x_0^2-a^2{x}_0^2+a^2{x}_0^2-2a^4+a^2=a^2-a^4$ $x_0^2=a^4⟹x_0=a^2$（因为 $P$ 在第一象限，$x_0>0$）。 将 $x_0=a^2$ 代入 $(\ast )$ 式： $y_0^2=(a^2{)}^2-2a^2+1=(a^2-1{)}^2$ 由焦点在 $x$ 轴知 $a^2>1-a^2⟹a^2>1/2$，且 $1-a^2>0⟹a^2<1$。 故 $a^2-1<0$，又 $y_0>0$，所以 $y_0=1-a^2$。

此时 $x_0+y_0=a^2+(1-a^2)=1$。 结论：点 $P$ 在定直线 $x+y=1$ 上。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：坐标法是解决此类“证明点在定直线上”最有效的武器。通过建立 $x_0,y_0$ 与参数 $a$ 的关系，最后实现参数的消解。 2. 易错点：在求 $y_0$ 时，必须注意 $y_0=\sqrt{(a^2-1{)}^2}=|a^2-1|$。因为 $a^2<1$，所以必须取 $1-a^2$，否则得不出定直线结论。 3. 几何洞察：第二问的垂直关系实际上限定了点 $P$ 的坐标…

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线的截距式方程、向量垂直的等价条件。

结论推广：在解析几何中，若动点满足某些特殊的垂直或比例关系，其轨迹往往是直线或圆（如阿波罗尼奥斯圆）。

方法推广：面对含有参数（如本题的 $a$）的轨迹问题，若要证明其在定曲线上，目标就是得到一个不含该参数且只含坐标变量的等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2014-辽宁卷文-20 解-椭圆方程
• 2014-湖南卷文-06 单-圆与圆