2018-全国卷II理-14 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及二元一次不等式组表示的平面区域。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+2y-5\ge 0\\ x-2y+3\ge 0\\ x-5\le 0\end{array}$，则 $z=x+y$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域：

• 将三个不等式转化为直线方程：$L_1:x+2y-5=0$, $L_2:x-2y+3=0$, $L_3:x=5$。
• 根据不等号方向确定区域。

2. 确定顶点坐标：

• 联立 $L_1$ 与 $L_2$ 得 $B(1,2)$。
• 联立 $L_1$ 与 $L_3$ 得 $C(5,0)$。
• 联立 $L_2$ 与 $L_3$ 得 $A(5,4)$。
• 可行域是以 $A,B,C$ 为顶点的三角形区域。

3. 分析目标函数：

• $z=x+y$ 可化为 $y=-x+z$。
• 这是一组斜率为 $-1$，在 $y$ 轴上截距为 $z$ 的平行直线。
• 要使 $z$ 最大，只需直线平移到可行域的最上方（截距最大处）。

4. 寻找最优解：

• 将顶点坐标代入 $z=x+y$ 进行比较。

✅【答案】

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9

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 9

【解析过程】

1. 绘制可行域： 作出不等式组对应的平面区域（三角形 $ABC$）：

• 直线 $x=5$ 是可行域的右边界。
• 点 $A$ 是 $x-2y+3=0$ 与 $x=5$ 的交点，解得 $A(5,4)$。
• 点 $B$ 是 $x+2y-5=0$ 与 $x-2y+3=0$ 的交点，解得 $B(1,2)$。
• 点 $C$ 是 $x+2y-5=0$ 与 $x=5$ 的交点，解得 $C(5,0)$。

2. 目标函数平移： 令 $z=x+y$，即 $y=-x+z$。 当直线经过可行域的顶点时，截距 $z$ 取得最值。

• 代入 $A(5,4)$：$z=5+4=9$；

• 代入 $B(1,2)$：$z=1+2=3$；

• 代入 $C(5,0)$：$z=5+0=5$。

3. 结论： 比较可知，$z$ 的最大值为 $9$。

故填入：9。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 截距规律：对于 $z=ax+by$ ($b>0$)，直线向上平移时 $z$ 增大；若 $b<0$，直线向上平移时 $z$ 减小。
2. 边界点检查：在线性规划中，最值通常在区域的顶点处取得。如果目标直线的斜率与可行域边界斜率相同，则最值在整条线段上取得。
3. 画图精度：虽然可以靠代入所有顶点来比较，但准确画图能帮助快速锁定最优解的方向，避免无效计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下非线性目标函数：

• 距离型：$z=x^2+y^2$（表示区域内的点到原点距离的平方）。
• 斜率型：$z=\frac{y-b}{x-a}$（表示区域内的点与定点 $(a,b)$ 连线的斜率）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2004-江苏卷-19 解-简单的线性规划问题
• 2006-全国卷I理-14 填-目标函数的最值求解
• 2015-北京卷理-2