2018-全国卷II理-15 填-同角三角关系

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系，以及两角和的正弦公式。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）已知 $\sin \alpha +\cos \beta =1$，$\cos \alpha +\sin \beta =0$，则 $\sin (\alpha +\beta )=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察结构：题目给出了两个方程，含有 $\sin \alpha ,\cos \alpha ,\sin \beta ,\cos \beta$。要求的 $\sin (\alpha +\beta )$ 展开后是 $\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$。
2. 联想公式：

• $(\sin \alpha +\cos \beta {)}^2$ 展开会产生 $2\sin \alpha \cos \beta$。
• $(\cos \alpha +\sin \beta {)}^2$ 展开会产生 $2\cos \alpha \sin \beta$。

3. 平方求和：将两个已知等式的左右两边分别平方后相加，利用 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 的特性简化式子，从而孤立出要求的 $\sin (\alpha +\beta )$ 部分。

✅【答案】

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$-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $-\frac{1}{2}$

【解析过程】 已知： ① $\sin \alpha +\cos \beta =1$ ② $\cos \alpha +\sin \beta =0$

将 ① 两边平方得： ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\beta +2\sin \alpha \cos \beta =1$ (A)

将 ② 两边平方得： ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\beta +2\cos \alpha \sin \beta =0$ (B)

(A) + (B) 得： $({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )+({\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta )+2(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )=1+0$

根据同角三角函数关系 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 以及两角和的正弦公式： $1+1+2\sin (\alpha +\beta )=1$

化简得： $2+2\sin (\alpha +\beta )=1$ $2\sin (\alpha +\beta )=-1$ $\sin (\alpha +\beta )=-\frac{1}{2}$

故填入：$-\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 构造思想：在处理 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 混合出现的方程组时，“平方相加”是打破僵局的万能钥匙，因为它能利用 ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ 极大简化运算。
2. 公式敏感度：要能快速判断 $\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ 就是 $\sin (\alpha +\beta )$ 的展开式。
3. 易错点：平方展开时，注意交叉项 $2\sin \alpha \cos \beta$ 前面的系数和符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下对称结构：

• 若已知 $\sin \alpha +\sin \beta =a$ 和 $\cos \alpha +\cos \beta =b$，平方相加则可求出 $\cos (\alpha -\beta )$。
• 若已知 $\sin \alpha -\cos \beta =a$ 和 $\cos \alpha -\sin \beta =b$，平方相加则可求出 $\sin (\alpha +\beta )$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1993-新高考理-18
• 2009-北京卷理-15
• 2021-上海卷-18 解-解三角形