2018-全国卷II理-21 解-导数单调性

本题导读

本题考查导数判定函数单调性。核心在于分类讨论法、参数分离法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）已知函数 $f(x)=e^x-a{x}^2$.

(1) 若 $a=1$，证明：当 $x\ge 0$ 时，$f(x)\ge 1$；

(2) 若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 只有一个零点，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（不等式证明）：

• 代入 $a=1$，目标是证 $e^x-x^2-1\ge 0$。
• 直接求导可能需要二阶导：$f^{\prime }(x)=e^x-2x$，$f^{\prime \prime }(x)=e^x-2$。
• 或者采用解析中的做法：构造 $g(x)=(x^2+1)e^{-x}-1$，将其转化为更易处理的乘积形式。

2. 第二问（零点问题）：

• 等价转化：$e^x-a{x}^2=0⟺a=\frac{e^x}{x^2}$（由于 $x>0$，可以放心分离参数）。
• 构造函数：令 $h(x)=\frac{e^x}{x^2}$ ($x>0$)。研究 $h(x)$ 的变化趋势。
• 求导分析：$h^{\prime }(x)=\frac{e^x(x-2)}{x^3}$。
  • 当 $0<x<2$ 时，$h^{\prime }(x)<0$，$h(x)$ 单调递减；
  • 当 $x>2$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 单调递增。
• 极值点：当 $x=2$ 时，$h(x)$ 取得最小值 $h(2)=\frac{e^2}{4}$。
• 结论判定：直线 $y=a$ 与曲线 $y=h(x)$ 的交点个数。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $a=\frac{{\mathrm{e}}^2}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 当 $a=1$ 时，$f(x)=e^x-x^2$。设 $F(x)=e^x-x^2-1$。 则 $F^{\prime }(x)=e^x-2x$。 再设 $G(x)=F^{\prime }(x)=e^x-2x$，则 $G^{\prime }(x)=e^x-2$。 令 $G^{\prime }(x)=0$，得 $x=\ln 2$。

• 当 $0\le x<\ln 2$ 时，$G^{\prime }(x)<0$，$G(x)$ 单调递减；
• 当 $x>\ln 2$ 时，$G^{\prime }(x)>0$，$G(x)$ 单调递增。 故 $G(x{)}_{min}=G(\ln 2)=2-2\ln 2=2(1-\ln 2)>0$。 所以 $F^{\prime }(x)>0$ 在 $[0,+\infty )$ 恒成立。 故 $F(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 单调递增。 所以 $F(x)\ge F(0)=e^0-0^2-1=0$。 即 $f(x)\ge 1$ 得证。

(2)解： 在 $(0,+\infty )$ 上，$f(x)=0⟺e^x-a{x}^2=0⟺a=\frac{e^x}{x^2}$。 设 $h(x)=\frac{e^x}{x^2}$ ($x>0$)。 $h^{\prime }(x)=\frac{e^x\cdot x^2-e^x\cdot 2x}{x^4}=\frac{e^x(x-2)}{x^3}$ 由 $h^{\prime }(x)=0$ 得 $x=2$。

• 当 $x\in (0,2)$ 时，$h^{\prime }(x)<0$，$h(x)$ 单调递减；

• 当 $x\in (2,+\infty )$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 单调递增。 所以 $h(x)$ 的极小值（也是最小值）为 $h(2)=\frac{e^2}{4}$。 观察极限趋势：

• 当 $x\to 0^{+}$ 时，$h(x)\to +\infty$；

• 当 $x\to +\infty$ 时，$h(x)\to +\infty$。

因此，关于 $x$ 的方程 $a=h(x)$ 的根的情况如下：

• 当 $a<\frac{e^2}{4}$ 时，无解；
• 当 $a=\frac{e^2}{4}$ 时，有唯一解 $x=2$；
• 当 $a>\frac{e^2}{4}$ 时，由 $h(x)$ 的趋势可知在 $(0,2)$ 和 $(2,+\infty )$ 各有一个解，共两个解。

综上所述，若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 只有一个零点，则 $a=\frac{e^2}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 参数分离的威力：将 $f(x)=0$ 转化为 $a=g(x)$ 是处理零点个数最直接的方法。它将动态的函数零点问题转化为静态的“水平线与曲线交点”问题，视觉化程度极高。
2. 找点法的严谨性：在官方解析中，为了证明 $a>\frac{e^2}{4}$ 时有两个零点，使用了 $h(4a)>a$ 这种具体的“找点”技巧来确定值域覆盖了 $a$。在参数分离法中，通常利用极限趋势（如 $x\to +\infty ,h(x)\to +\infty$）来简略说明。
3. 同构思想：第一问的解析中通过构造 $\frac{x^2+1}{e^x}$ 也是一种巧妙的变形，但在高考考场上，二阶导数往往是最易想到的保底方案。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个常用放缩：

• 经典不等式：$e^x\ge x+1$，$e^x\ge ex$。
• 本题背景：$e^x$ 的增长速度远快于任何幂函数 $x^n$。这决定了 $h(x)=e^x/x^2$ 在 $x$ 很大时必然会超过任何常数 $a$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-06 单-零点存在性定理
• 2003-上海卷理-10
• 2009-江西卷文-17 解-导数恒成立与根