2009-江西卷文-17 解-导数恒成立与根

本题导读

考查导数综合。(1) $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-2)$ 的最小值 $f^{\prime }\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{4}$，$m$ 的最大值为 $-\frac{3}{4}$；(2) $a<2$ 或 $a>\frac{5}{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 设函数 $f(x)=x^3-\frac{9}{2}{x}^2+6x-a$.

(1) 对于任意实数 $x$，$f^{\prime }(x)⩾m$ 恒成立，求 $m$ 的最大值；

(2) 若方程 $f(x)=0$ 有且仅有一个实根，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. (1) $f^{\prime }(x)=3x^2-9x+6$，是开口向上的抛物线，最小值在 $x=\frac{3}{2}$ 处，为 $-\frac{3}{4}$。
2. (2) $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-2)$：极大值 $f(1)=\frac{5}{2}-a$，极小值 $f(2)=2-a$。
3. 首项为正的三次函数：极大值 $<0$ 或极小值 $>0$ 时恰有一个实根。
4. $\frac{5}{2}-a<0$ 得 $a>\frac{5}{2}$；$2-a>0$ 得 $a<2$。等号时出现二重根（两个不同实根），须排除。

✅【答案】

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(1) $m$ 的最大值为 $-\frac{3}{4}$；(2) $a$ 的取值范围是 $a<2$ 或 $a>\frac{5}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=3x^2-9x+6$，其图象是开口向上的抛物线，最小值在顶点 $x=\frac{3}{2}$ 处取得： $f^{\prime }\left(\frac{3}{2}\right)=3\times \frac{9}{4}-9\times \frac{3}{2}+6=\frac{27}{4}-\frac{27}{2}+6=-\frac{3}{4}$。 由 $f^{\prime }(x)⩾m$ 对任意实数 $x$ 恒成立，得 $m⩽-\frac{3}{4}$，故 $m$ 的最大值为 $-\frac{3}{4}$。 (2) $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-2)$，在 $(-\infty ,1)$ 上 $f^{\prime }>0$，$(1,2)$ 上 $f^{\prime }<0$，$(2,+\infty )$ 上 $f^{\prime }>0$。 故极大值 $f(1)=1-\frac{9}{2}+6-a=\frac{5}{2}-a$，极小值 $f(2)=8-18+12-a=2-a$。 首项系数为正的三次函数恰有一个实根，当且仅当极大值小于 $0$ 或极小值大于 $0$： 由 $\frac{5}{2}-a<0$ 得 $a>\frac{5}{2}$；由 $2-a>0$ 得 $a<2$。 当 $a=\frac{5}{2}$ 或 $a=2$ 时，相应的极值恰为零，方程有一个二重根和一个单根，共两个不同实根，不合题意。 故 $a$ 的取值范围是 $a<2$ 或 $a>\frac{5}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与恒成立、根的个数

核心方法：导函数最小值 + 极值符号定根数

避坑指南：$f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-2)$ 的最小值在 $x=\frac{3}{2}$；三次函数恰一根 $\iff$ 极大 $<0$ 或极小 $>0$，等号情形产生二重根须剔除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：”$f^{\prime }(x)⩾m$ 恒成立”求 $m$ 的最大值就是求 $f^{\prime }$ 的最小值。

结论推广：首项为正的三次函数：极大 $>0$ 且极小 $<0$ 时三根，其一不成立时一根。

方法推广：极值恰为零时是”相切”情形，根数为 $2$ 而非 $1$，边界要单独讨论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-21 解-导数单调与恒成立
• 2009-天津卷文-21 解-导数零点恒成立
• 2009-安徽卷文-21 解-导数单调与值域