2018-全国卷III文-07 单-图象变换

本题导读

本题考查函数图象的对称变换，以及对数函数的性质。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III文）下列函数中，其图象与函数 $y=\ln x$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称的是 ()

A. $y=\ln (1-x)$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $y=\ln (2-x)$

C. $y=\ln (1+x)$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $y=\ln (2+x)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用函数图象关于直线 $x=a$ 对称的代数性质：若点 $(x,y)$ 在原函数图象上，其关于 $x=a$ 的对称点 $(2a-x,y)$ 必在对称后的函数图象上。
2. 代入 $a=1$，对称点坐标为 $(2-x,y)$，将其代入原函数 $y=\ln x$ 求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设函数 $y=\ln x$ 上的任意一点为 $(x_0,y_0)$，则 $y_0=\ln x_0$。 设该点关于直线 $x=1$ 的对称点为 $(x,y)$， 则由中点坐标公式可得： $\frac{x+x_0}{2}=1⟹x_0=2-x$ 且 $y=y_0$。 将 $x_0=2-x$ 代入 $y_0=\ln x_0$ 中得： $y=\ln (2-x)$ 故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：图象对称变换、点关于直线对称。
2. 核心方法：相关点法（代换法）。
3. 避坑指南：点 $(x,y)$ 关于 $x=a$ 的对称点坐标为 $(2a-x,y)$，切勿写错符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数图象变换经典题。
2. 结论推广: 函数 $y=f(x)$ 关于直线 $x=a$ 对称的函数解析式为 $y=f(2a-x)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-18 解-含参对数不等式恒成立
• 1990-全国卷理-15 单-函数图象的变换
• 2004-全国卷II理-06 单-函数图象的对称变换