2017-全国卷I理-09 单-图象变换

本题导读

本题考查三角函数的图象变换，以及诱导公式。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 已知曲线 $C_1:y=\cos x$，$C_2:y=\sin (2x+\frac{2\pi }{3})$，则下面结论正确的是 ()

A. 把 $C_1$ 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_2$

B. 把 $C_1$ 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位长度，得到曲线 $C_2$

C. 把 $C_1$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_2$

D. 把 $C_1$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位长度，得到曲线 $C_2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一函数名：$C_1$ 是余弦函数，$C_2$ 是正弦函数，无法直接对比。利用诱导公式 $\sin \theta =\cos (\theta -\frac{\pi }{2})$ 将 $C_2$ 转化为余弦形式。
2. 分析频率变化（伸缩变换）：$C_1$ 的系数为 1，$C_2$ 的 $x$ 系数为 2。从 1 变到 2 需要将横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍。由此可直接排除 A、B。
3. 分析相位变化（平移变换）：

• 先缩短：$y=\cos x\stackrel{\text{缩短}}{\to }y=\cos 2x$。
• 再平移：设向左平移 $\varphi$ 个单位，则解析式变为 $y=\cos 2(x+\varphi )=\cos (2x+2\varphi )$。
• 对比转化后的 $C_2$ 解析式，求出 $\varphi$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D 【解析过程】 第一步：统一函数名称 将 $C_2$ 的解析式利用诱导公式转化为余弦函数： $y=\sin (2x+\frac{2\pi }{3})=\cos [(2x+\frac{2\pi }{3})-\frac{\pi }{2}]=\cos (2x+\frac{\pi }{6})$ 所以曲线 $C_2$ 的等价解析式为 $y=\cos (2x+\frac{\pi }{6})$。

第二步：执行伸缩变换 将 $C_1:y=\cos x$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变）， 得到曲线的解析式为：$y=\cos 2x$。

第三步：执行平移变换 设将 $y=\cos 2x$ 向左平移 $\varphi$ 个单位长度，得到： $y=\cos 2(x+\varphi )=\cos (2x+2\varphi )$。 令 $2\varphi =\frac{\pi }{6}$，解得 $\varphi =\frac{\pi }{12}$。 即向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位长度。

综上所述，结论 D 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 诱导公式选择：转化时也可以将 $C_1$ 化为正弦，即 $\cos x=\sin (x+\frac{\pi }{2})$，但在处理 $x$ 的系数倍增时，逻辑是一致的。
• 平移的“陷阱”：平移变换是针对自变量 $x$ 符号本身的。如果是先伸缩后平移，$x$ 变为 $x\pm \varphi$，对应的相位变化是 $\omega (x\pm \varphi )=\omega x\pm \omega \varphi$。很多学生会误选平移 $\frac{\pi }{6}$，那是忽略了系数 2 的倍法关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. “先平移后伸缩”路径： 若先平移 $\frac{\pi }{6}$，再伸缩 $\frac{1}{2}$： $y=\cos x\stackrel{\text{左平 }\frac{\pi }{6}}{\to }y=\cos (x+\frac{\pi }{6})\stackrel{\text{缩短 }\frac{1}{2}}{\to }y=\cos (2x+\frac{\pi }{6})$。 在这种情况下，平移量确实是 $\frac{\pi }{6}$。但选项 C 给出的平移方向是“向右”，且题目描述的逻辑通常是“再把得到的曲线平移”，暗示了先缩后平的顺序。

2. 核心公式： 左加右减：$f(x)\to f(x+h)$ 缩长扩短：$f(x)\to f(\omega x)$，若 $\omega >1$ 为缩短，若 $0<\omega <1$ 为伸长。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-05 单-图象变换
• 2018-全国卷III文-07 单-图象变换
• 2018-天津卷理-06 单-图象变换