2018-全国卷III文-09 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及特殊点。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III文）函数 $y=-x^4+x^2+2$ 的图像大致为()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 奇偶性分析：

• $f(-x)=-(-x{)}^4+(-x{)}^2+2=-x^4+x^2+2=f(x)$。
• 该函数为偶函数，图像关于 $y$ 轴对称。

2. 特殊点分析：

• 当 $x=0$ 时，$y=2$。
• 图像与 $y$ 轴的交点为 $(0,2)$。由此可排除 A、B 选项（如果它们过原点的话）。

3. 极限趋势分析：

• 当 $|x|\to \infty$ 时，最高次项 $-x^4$ 起主导作用。
• 因为系数为负，所以当 $x\to \pm \infty$ 时，$y\to -\infty$。图像开口向下。由此可排除 C 选项（如果是开口向上）。

4. 导数（单调性与极值）分析：

• $y^{\prime }=-4x^3+2x=-2x(2x^2-1)$。
• 令 $y^{\prime }=0$，解得 $x_1=0$，$x_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_3=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
• 函数在 $x=0$ 处取得极小值，在 $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 处取得极大值。图像呈现“M”型。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

1. 找截距：令 $x=0$，得 $y=2$，排除过原点的图像。
2. 看趋势：由于 $x^4$ 的系数为 $-1<0$，当 $x\to \infty$ 时，$y\to -\infty$，图像两端向下延伸。
3. 求极值： 设 $f(x)=-x^4+x^2+2$，则 $f^{\prime }(x)=-4x^3+2x$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，得 $x=0$ 或 $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。

• 当 $x\in (0,\frac{\sqrt{2}}{2})$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增；
• 当 $x\in (\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，函数单调递减。 说明函数在 $y$ 轴右侧先增后减，在 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 处取得极大值。 结合偶函数对称性，图像整体呈“M”形。

故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “三步走”策略：一看定义域和奇偶性，二看特殊点和正负号，三看导数找单调性和极值。
2. 多项式函数特征：

• 偶次多项式且最高次项系数为负 $⟹$ 开口向下，两头入地。
• 奇函数 $⟹$ 关于原点对称。

3. 陷阱防范：有些题目选项非常接近，此时需要计算极值点的具体坐标。本题中 $f(\pm \frac{\sqrt{2}}{2})=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+2=2.25$，比 $f(0)=2$ 略高，符合 M 形特征。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个简表：

• $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ 型：
• $a>0,b<0⟹$ “W”型
• $a<0,b>0⟹$ “M”型
• $ab\ge 0⟹$ 类似于抛物线的“U”型或倒“U”型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-13
• 1992-全国卷理-16
• 1997-全国卷理-13 单-奇偶函数与单调性的不等式