2018-全国卷III文-10 单-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的离心率与渐近线，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III文）已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$, 则点 $(4,0)$ 到 $C$ 的渐近线的距离为 ()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $2\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 由离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$ 及 $c^2=a^2+b^2$ 求出 $a$ 与 $b$ 的关系（即 $a=b$）。
2. 写出双曲线的渐近线方程 $bx\pm ay=0$（化为一般式）。
3. 利用点到直线的距离公式计算点 $(4,0)$ 到渐近线的距离。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，得 $c=\sqrt{2}a$。 因为 $c^2=a^2+b^2$，所以： $(\sqrt{2}a{)}^2=a^2+b^2⟹2a^2=a^2+b^2⟹a^2=b^2⟹a=b$ 双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm x$，即化为一般式为 $x-y=0$ 或 $x+y=0$。 点 $(4,0)$ 到直线 $x-y=0$ 的距离为： $d=\frac{|4-0|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ （到另一条渐近线 $x+y=0$ 的距离也为 $2\sqrt{2}$）。 故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线离心率、渐近线方程、点到直线距离公式。
2. 核心方法：代数关系转换与公式直接代入法。
3. 避坑指南：计算点到直线距离时，直线方程必须先化为一般式 $Ax+By+C=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线常规选择题。
2. 结论推广: 等轴双曲线（$a=b$）的渐近线互相垂直，其离心率为 $\sqrt{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率