2018-全国卷III文-11 单-三角形面积

本题导读

本题考查三角形的面积公式，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III文）$△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$, 若 $△ABC$ 的面积为 $\frac{a^2+b^2-c^2}{4}$, 则 $C=$ ()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{6}$

🔍【思路分析】

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1. 将三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 与已知条件结合。
2. 利用余弦定理将 $a^2+b^2-c^2$ 转化为 $2ab\cos C$。
3. 化简等式解出角 $C$ 的正切值或余弦值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由三角形面积公式知 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$， 已知 $S=\frac{a^2+b^2-c^2}{4}$，故： $\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{a^2+b^2-c^2}{4}$ 由余弦定理可知 $a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$，代入上式得： $\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{2ab\cos C}{4}=\frac{1}{2}ab\cos C$ 因为 $ab\ne 0$，两边同除以 $\frac{1}{2}ab$ 得： $\sin C=\cos C$ 因为 $C$ 是三角形的内角，所以 $C=\frac{\pi }{4}$。 故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形面积公式、余弦定理。
2. 核心方法：边角化简法。
3. 避坑指南：化简过程中不可直接约去可能为零的变量，此处 $ab>0$ 故可直接同除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解三角形常考题。
2. 结论推广: 面积公式与余弦定理的结合是推导三角形形状及角大小的标准工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I文-17 解-解三角形求边周长
• 2010-安徽卷文-16 解-面积数量积与余弦定理
• 2013-福建卷理-13 填-余弦定理