2013-福建卷理-13 填-余弦定理

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） 如图，在 $△ABC$ 中，已知点 $D$ 在 $BC$ 边上，$AD\perp AC$，$\sin \angle BAC=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$AB=3\sqrt{2}$，$AD=3$，则 $BD$ 的长为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化角度：已知 $AD\perp AC$，则 $\angle DAC=90^{\circ }$。 设 $\angle BAD=\theta$，则 $\angle BAC=90^{\circ }+\theta$。
2. 利用诱导公式： 由 $\sin \angle BAC=\sin (90^{\circ }+\theta )=\cos \theta$，可直接得到 $\cos \theta =\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
3. 应用余弦定理： 在 $△ABD$ 中，已知两边 $AB,AD$ 及夹角 $\theta$ 的余弦值，要求第三边 $BD$。 直接套用公式：$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2AB\cdot AD\cos \theta$。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：角度关系转化 设 $\angle BAD=\theta$。 因为 $AD\perp AC$，所以 $\angle DAC=90^{\circ }$。 则 $\angle BAC=\angle BAD+\angle DAC=\theta +90^{\circ }$。 由诱导公式得： $\sin \angle BAC=\sin (\theta +90^{\circ })=\cos \theta$ 已知 $\sin \angle BAC=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，所以 $\cos \theta =\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

第二步：在 $△ABD$ 中求 $BD$ 在 $△ABD$ 中，$AB=3\sqrt{2}$，$AD=3$，$\cos \angle BAD=\cos \theta =\frac{2\sqrt{2}}{3}$。 根据余弦定理： $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \theta$ 代入数值： $B{D}^2=(3\sqrt{2}{)}^2+3^2-2\times 3\sqrt{2}\times 3\times \frac{2\sqrt{2}}{3}$ $B{D}^2=18+9-2\times 3\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}$ $B{D}^2=27-2\times 12=27-24=3$ 所以 $BD=\sqrt{3}$。

故答案为：$\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。

核心方法：“几何拆角法”。通过垂直关系引入直角，利用诱导公式 $\sin (90^{\circ }+\alpha )=\cos \alpha$ 简化三角函数运算，避免了复杂的两角和正弦公式展开。

避坑指南：计算 $(3\sqrt{2}{)}^2$ 时注意系数和根号都要平方（即 $9\times 2=18$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理、直角三角形的边角关系。

结论推广：涉及三角形内一点与顶点连线的长度问题，通常优先考虑将目标边置于一个已知两边一角的三角形中。

方法推广：若已知 $\cos \theta$，求 $△ABC$ 面积，可先通过 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 求出 $\sin \theta$，再利用 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-05 单-余弦定理
• 2015-广东卷文-05 单-余弦定理
• 2013-上海卷文-05 填-余弦定理求角