2018-全国卷III文-17 解-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项公式。核心在于基本量法、指数方程求解法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III文）等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$, $a_5=4a_3$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 记 $S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $S_m=63$, 求 $m$.

🔍【思路分析】

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1. 设等比数列的公比为 $q$，根据已知条件 $a_1$ 和 $a_5=4a_3$ 列出关于 $q$ 的方程求出公比。
2. 利用等比数列通项公式写出 $a_n$。
3. 利用等比数列前 $n$ 项和公式列出关于 $m$ 的指数方程，解出 $m$ 的值。

✅【答案】

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(1) $a_n=2^{n-1}$ 或 $a_n=(-2{)}^{n-1}$

(2) $m=6$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。 因为 $a_1=1$，且 $a_5=4a_3$， 由等比数列通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$ 可得： $a_1{q}^4=4a_1{q}^2$ 代入 $a_1=1$ 得： $q^4=4q^2$ 因为 $q$ 可正可负（若 $q=0$ 则 $a_3=a_5=0$ 与等比数列定义矛盾，故 $q\ne 0$）， 两边同除以 $q^2$ 得： $q^2=4⟹q=2\text{ 或 }q=-2$ 因此，等比数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为：

• 当 $q=2$ 时，$a_n=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$；
• 当 $q=-2$ 时，$a_n=1\cdot (-2{)}^{n-1}=(-2{)}^{n-1}$。

(2) 由等比数列前 $n$ 项和公式：

• 当 $q=2$ 时， $S_m=\frac{a_1(1-q^m)}{1-q}=\frac{1(1-2^m)}{1-2}=2^m-1$ 令 $S_m=63⟹2^m-1=63⟹2^m=64⟹m=6$。
• 当 $q=-2$ 时， $S_m=\frac{1[1-(-2{)}^m]}{1-(-2)}=\frac{1-(-2{)}^m}{3}$ 令 $S_m=63⟹\frac{1-(-2{)}^m}{3}=63⟹1-(-2{)}^m=189⟹(-2{)}^m=-188$， 该方程无正整数解（舍去）。 综上所述，$m=6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项、求和公式、指数方程求解。
2. 核心方法：基本量法与分类讨论。
3. 避坑指南：求解公比 $q^2=4$ 时切忌漏掉负根，且在求和时需对 $q$ 的符号进行检验以排除无解情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数列解答题的常考基础题型。
2. 结论推广: 等比数列求和中遇到公比可能为负数时，必须结合项数奇偶性或求和结果进行合理筛选。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-03 单-等比数列通项
• 2013-辽宁卷理-14 填-等比数列通项
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比