2018-全国卷III理-15 填-三角函数零点

本题导读

本题考查三角函数零点，以及余弦函数的性质。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）函数 $f(x)=\cos (3x+\frac{\pi }{6})$ 在 $[0,\pi ]$ 的零点个数为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化零点问题：令 $f(x)=0$，即寻找满足 $\cos (3x+\frac{\pi }{6})=0$ 的 $x$ 的个数。
2. 确定整体范围：

• 已知 $x\in [0,\pi ]$。
• 逐步扩大范围：$3x\in [0,3\pi ]$。
• 加上相位：$3x+\frac{\pi }{6}\in [\frac{\pi }{6},3\pi +\frac{\pi }{6}]$，即 $3x+\frac{\pi }{6}\in [\frac{\pi }{6},\frac{19\pi }{6}]$。

3. 寻找零点位置：余弦函数 $y=\cos u$ 的零点为 $u=k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbb{Z}$)。
4. 筛选符合条件的 $k$：观察有多少个 $k\pi +\frac{\pi }{2}$ 落在区间 $[\frac{\pi }{6},\frac{19\pi }{6}]$ 内。

✅【答案】

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3

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 3

【解析过程】

1. 整体范围确定： 令 $u=3x+\frac{\pi }{6}$。 当 $x\in [0,\pi ]$ 时，$3x\in [0,3\pi ]$， 所以 $u=3x+\frac{\pi }{6}\in [\frac{\pi }{6},\frac{19\pi }{6}]$。

2. 确定零点分布： 令 $\cos u=0$，得 $u=\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2},\frac{7\pi }{2},\dots$ 我们需要判断哪些 $u$ 落在 $[\frac{\pi }{6},\frac{19\pi }{6}]$ 中：

• $u_1=\frac{\pi }{2}$：$\frac{\pi }{6}<\frac{3\pi }{6}<\frac{19\pi }{6}$，符合条件；

• $u_2=\frac{3\pi }{2}$：$\frac{\pi }{6}<\frac{9\pi }{6}<\frac{19\pi }{6}$，符合条件；

• $u_3=\frac{5\pi }{2}$：$\frac{\pi }{6}<\frac{15\pi }{6}<\frac{19\pi }{6}$，符合条件；

• $u_4=\frac{7\pi }{2}$：$\frac{21\pi }{6}>\frac{19\pi }{6}$，超出范围。

3. 结论： 对应的 $u$ 有 3 个，故 $x$ 也有 3 个零点。 （具体 $x$ 值为：$\frac{\pi }{9},\frac{4\pi }{9},\frac{7\pi }{9}$，填空题只需写个数）。

故填入：3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 周期与零点的关系：该函数的周期 $T=\frac{2\pi }{3}$。在长度为 $\pi$ 的区间内，包含了 $1.5$ 个周期。通常一个周期内有两个零点，因此 3 个零点符合直觉。
2. 端点值检查：计算范围时一定要准确。$\frac{19\pi }{6}=3\pi +\frac{\pi }{6}\approx 3.16\pi$，而第三个零点 $\frac{5\pi }{2}=2.5\pi$，第四个零点 $\frac{7\pi }{2}=3.5\pi$。通过估算可以快速锁定数量。
3. 图象法辅助：画出 $y=\cos u$ 的图象，标注出 $[\frac{\pi }{6},\frac{19\pi }{6}]$ 段，观察与 $x$ 轴的交点个数。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个模型：

• 对于 $f(x)=A\cos (\omega x+\varphi )$，
• 其零点满足 $\omega x+\varphi =k\pi +\frac{\pi }{2}$。
• 通过解不等式 $a\le \frac{k\pi +\frac{\pi }{2}-\varphi }{\omega }\le b$ 来确定整数 $k$ 的个数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-21 解-对称性
• 2014-江苏卷-13 填-周期性
• 2008-湖北卷文-13 填-指幂混合方程解数