2008-湖北卷文-13 填-指幂混合方程解数

本题导读

$g(-1)=2+1=3$，$x=-1$ 是根；$g$ 在 $(-\infty ,0)$ 递减、$x>0$ 时先减后增且 $g(0)=1<3$，$(1,2)$ 内恰一根，共 $2$ 个.

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(文)） 方程 $2^{-x}+x^2=3$ 的实数解的个数为　　　.

🔍【思路分析】

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令 $g(x)=2^{-x}+x^2-3$，求导看单调：$x<0$ 时 $g$ 递减且 $g(-1)=0$；$x>0$ 时 $g$ 先减后增，最小值在 $x\approx 0.25$ 处小于 $0$，之后递增穿过零轴一次.

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

设 $g(x)=2^{-x}+x^2$，方程即 $g(x)=3$. $g(-1)=2+1=3$，故 $x=-1$ 是一个实数解. 当 $x<0$ 时，$g^{\prime }(x)=-\ln 2\cdot 2^{-x}+2x<0$，$g$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递减，且 $g(-1)=3$，$g(0)=1<3$，$g(-2)=\frac{1}{4}+4>3$，故 $(-\infty ,0)$ 内仅有 $x=-1$ 一解. 当 $x>0$ 时，$g^{\prime }(x)=-\ln 2\cdot 2^{-x}+2x$，$g(0.25)\approx 0.84+0.06<3$，且 $g$ 在经过极小值后递增，$g(1)=\frac{1}{2}+1<3$，$g(2)=\frac{1}{4}+4>3$，故 $(0,+\infty )$ 内恰有一解. 综上，方程共有 $2$ 个实数解.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：方程解的个数与函数图象

核心方法：构造差函数，分段用单调性与端点符号定根数

避坑指南：$x=-1$ 是精确解要先用；$x<0$ 时 $2^{-x}=2^{|x|}$ 增长快，函数递减，判断单调性时导数两项都为负

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数函数与二次函数混合方程的根数讨论

结论推广：构造函数 + 导数定单调 + 端点取值，三件套定根数

方法推广：根个数问题先找精确解（如 $x=-1$），再对剩余区间用单调性”封锁”，防止图象法漏判

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-湖北卷文-03 单-函数零点个数
• 2014-湖北卷文-09 单-函数零点
• 2015-湖北卷文-13 填-函数零点
• 2013-湖北卷文-10 单-对数函数极值点