2018-全国卷III理-16 填-抛物线定义

本题导读

本题考查抛物线的定义。核心在于几何性质法、坐标运算法 (备选)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）已知点 $M(-1,1)$ 和抛物线 $C:y^2=4x$，过 $C$ 的焦点且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A,B$ 两点.若 $\angle AMB=90^{\circ }$，则 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察点 M 的位置：抛物线 $y^2=4x$ 的准线方程为 $x=-1$。发现点 $M(-1,1)$ 恰好在准线上。
2. 利用直角三角形性质：在 $Rt△AMB$ 中，设 $AB$ 的中点为 $N$。由直角三角形斜边中线性质知：$|MN|=\frac{1}{2}|AB|$。
3. 利用抛物线定义：

• 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，焦点为 $F(1,0)$。
• 根据定义：$|AF|=x_1+1$，$|BF|=x_2+1$。
• 所以 $|AB|=|AF|+|BF|=x_1+x_2+2$。
• 则 $|MN|=\frac{x_1+x_2}{2}+1$。

4. 建立几何联系：

• 设 $N$ 的坐标为 $(x_N,y_N)$，则 $x_N=\frac{x_1+x_2}{2}$。
• 上式变为 $|MN|=x_N+1$。
• 因为 $M$ 的横坐标是 $-1$，所以 $M$ 到 $N$ 的水平距离就是 $x_N-(-1)=x_N+1$。
• 这意味着 $MN$ 必须平行于 x 轴（否则距离会大于水平位移）。
• 既然 $MN\parallel x$ 轴，那么 $M$ 和 $N$ 的纵坐标相等，即 $y_N=y_M=1$。

5. 求解斜率 $k$：利用点差法或中点坐标公式求 $k$。

✅【答案】

点击查看答案

2

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 2

【解析过程】

1. 确定中点特征： 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，弦 $AB$ 的中点为 $N(x_N,y_N)$。 由抛物线定义及外接圆性质（如思路分析所述），由于 $M$ 在准线上且 $\angle AMB=90^{\circ }$，必有 $MN\parallel x$ 轴。 因此 $y_N=\frac{y_1+y_2}{2}=1$，即 $y_1+y_2=2$。

2. 点差法求斜率： 点 $A,B$ 在抛物线上： $y_1^2=4x_1$ ① $y_2^2=4x_2$ ② ① - ② 得：$(y_1-y_2)(y_1+y_2)=4(x_1-x_2)$。 则直线 $AB$ 的斜率 $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{4}{y_1+y_2}$。

3. 代入计算： 将 $y_1+y_2=2$ 代入上式： $k=\frac{4}{2}=2$。

故填入：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 焦点弦与准线的特殊关系：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切。本题中 $\angle AMB=90^{\circ }$ 且 $M$ 在准线上，实际上蕴含了 $M$ 就是切点这一几何事实。
2. 点差法的适用场景：涉及中点坐标与斜率关系时，点差法是最快、最简洁的工具。
3. 坐标法的陷阱：本题若强行联立 $y=k(x-1)$ 与 $y^2=4x$ 并使用韦达定理 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$，运算量极大且极易出错。压轴题考查的是对几何本质的洞察力。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个结论：

• 结论：对抛物线 $y^2=2px$，过焦点的弦 $AB$ 的中点为 $N$，若准线上一点 $M$ 满足 $MN\perp$ 准线，则 $\angle AMB=90^{\circ }$。
• 本题逆用：已知 $90^{\circ }$ 推导出 $MN\perp$ 准线（即平行于 $x$ 轴）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 11.06 中线模型与衍生恒等式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义
• 1977-福建卷-01(4)
• 2000-上海卷理-17 解-椭圆的标准方程与几何性质