2018-全国卷III理-19 解-面面垂直

本题导读

本题考查面面垂直的判定定理。核心在于几何运算法、空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）如图，矩形 $ABCD$ 所在平面与半圆弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$ 所在平面垂直，$M$ 是 $\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$ 上异于 $C,D$ 的点.

(1) 证明：平面 $AMD\perp$ 平面 $BMC$；

(2) 当三棱锥 $M-ABC$ 体积最大时，求面 $MAB$ 与面 $MCD$ 所成二面角的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（面面垂直）：

• 线面垂直转换：由于平面 $CMD\perp$ 平面 $ABCD$，且 $BC\perp CD$（正方形性质），根据面面垂直的性质定理，可得 $BC\perp$ 平面 $CMD$。

• 线线垂直推导：因为 $BC\perp$ 平面 $CMD$，所以 $BC\perp DM$。又因为 $CD$ 是直径，$M$ 在圆弧上，所以 $DM\perp MC$。

• 结论得出：$DM$ 垂直于平面 $BMC$ 内两条相交直线 $BC$ 和 $MC$，故 $DM\perp$ 平面 $BMC$。从而平面 $AMD\perp$ 平面 $BMC$。

2. 第二问（空间向量）：

• 确定 $M$ 点：三棱锥 $M-ABC$ 的底面 $ABC$ 面积固定，体积最大即 $M$ 到平面 $ABCD$ 的距离最大。在半圆弧上，当 $M$ 为弧 $CD$ 的中点时，距离最大（等于半圆弧半径 $\frac{CD}{2}$）。
• 建立坐标系：以 $D$ 为原点，$DA,DC$ 分别为 $x,y$ 轴，过 $D$ 垂直于底面的射线为 $z$ 轴。
• 计算法向量：分别求出平面 $MAB$ 和平面 $MCD$ 的法向量。
• 求二面角：计算法向量夹角的余弦值，再转化为正弦值。注意二面角的正弦值含矩形边长比，因题目未给出边长，故不能确定唯一数值。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 二面角正弦值随矩形边长比变化，不能确定唯一数值

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 因为平面 $CMD\perp$ 平面 $ABCD$，平面 $CMD\cap$ 平面 $ABCD=CD$。 在正方形 $ABCD$ 中，$BC\perp CD$，且 $BC\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $BC\perp$ 平面 $CMD$。 因为 $DM\subset$ 平面 $CMD$，所以 $BC\perp DM$。 由于 $CD$ 为半圆的直径，$M$ 在圆弧上，所以 $DM\perp MC$。 又因为 $MC\cap BC=C$，$MC,BC\subset$ 平面 $BMC$， 所以 $DM\perp$ 平面 $BMC$。 因为 $DM\subset$ 平面 $AMD$， 所以平面 $AMD\perp$ 平面 $BMC$。

(2)解： 三棱锥 $M-ABC$ 的底面 $△ABC$ 的面积固定（为 $\frac{1}{2}ab$，其中 $a=AB$，$b=AD$），其高为点 $M$ 到矩形平面的距离 $v$，故体积 $V=\frac{1}{6}abv$。 由点 $M$ 在半圆弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$ 上（以 $CD$ 为直径），设 $CD=a$，圆心为 $CD$ 中点，则 $M$ 到 $CD$ 的最大距离为半径 $\frac{a}{2}$，当 $M$ 为弧 $CD$ 的中点时取得，此时体积最大。 取 $M=\left(\frac{a}{2},b,\frac{a}{2}\right)$，则平面 $MCD$ 的法向量可取 ${\vec{n}}_2=(0,1,0)$； 平面 $MAB$ 的两个方向向量可取 $\overrightarrow{AB}=(a,0,0)$，$\overrightarrow{AM}=\left(\frac{a}{2},b,\frac{a}{2}\right)$，其法向量可取 ${\vec{n}}_1=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AM}=\left(0,-\frac{a^2}{2},ab\right)$ 设两平面所成二面角为 $\phi$，则 $\sin \phi =\frac{|{\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{ab}{a\sqrt{\frac{a^2}{4}+b^2}}=\frac{b}{\sqrt{\frac{a^2}{4}+b^2}}$ 该值随矩形边长比 $\frac{a}{b}$ 变化（如 $a=b$ 时为 $\frac{2}{\sqrt{5}}$，$a=2b$ 时为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$），而题目仅给出”矩形”、未给出 $a$、$b$ 及其比值，故第(2)问不能确定唯一的数值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 线面垂直的传递性：在本题中，利用 $BC\perp$ 侧面来启动证明是关键。这种“底面的一条边垂直于侧面”是垂直拼接模型的常用套路。
2. 隐含的直角：圆周角定理在空间几何中经常以这种形式出现，看到直径和圆周上的点，要下意识寻找垂直关系。
3. 坐标原点的选择：选择 $D$ 或 $C$ 为原点均可，关键在于法向量 $\vec{m}$ 的选取。如果选 $D$，平面 $MCD$ 就在坐标面上，法向量直接就是坐标轴向量，计算大为简化。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个模型：

• 最大体积点位置：对于圆弧或球面的动点，最值点通常在“顶点”或“中点”处取得。
• 正弦与余弦的转换：向量法求出的是余弦值，题目若要求正弦值，千万记得最后一步的转换，这是考场常见的丢分点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2008-大纲卷I文-16 填-翻折点面距离
• 2008-江西卷理-20