2018-北京卷文-05 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项公式，以及新定义与实际应用。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷文）“十二平均律”是通明的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 $\sqrt[12]{2}$.若第一个单音的频率为 $f$，则第八个单音的频率为 ()

A. $\sqrt[12]{2}f$　　　　B. $\sqrt[12]{2^2}f$　　　　C. $\sqrt[12]{2^5}f$　　　　D. $\sqrt[12]{2^7}f$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据题意，各单音的频率构成首项为 $f$，公比为 $q=\sqrt[12]{2}$ 的等比数列。
2. 求第八个单音的频率，即求该等比数列的第 8 项 $a_8$。
3. 利用等比数列通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$ 计算。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

设第 $n$ 个单音的频率为 $a_n$，由题意知数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $a_1=f$，公比为 $q=\sqrt[12]{2}$ 的等比数列。 求第八个单音的频率，即求 $a_8$: $a_8=a_1{q}^{8-1}=f\cdot (\sqrt[12]{2}{)}^7=\sqrt[12]{2^7}f$. 故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项公式。
2. 核心方法：准确识别首项、公比及项数。
3. 避坑指南：第八个单音对应的指数是 $8-1=7$，切忌直接用 8 次方。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 结合中国古代科技文化背景的创新应用题。
2. 结论推广: 熟练掌握等比数列通项公式的指数运算性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2013-北京卷理-10 填-等比数列通项
• 2013-新课标II卷理-03 单-等比数列通项