2018-北京卷文-09 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量垂直的坐标表示。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷文）设向量 $\mathbf{a}=(1,0)$，$\mathbf{b}=(-1,m)$.若 $\mathbf{a}\perp (m\mathbf{a}-\mathbf{b})$，则 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据向量坐标先求出向量 $m\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 的坐标。
2. 利用向量垂直的条件：两向量数量积为 0，即 $\mathbf{a}\cdot (m\mathbf{a}-\mathbf{b})=0$ 建立方程求解。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\mathbf{a}=(1,0)$，$\mathbf{b}=(-1,m)$， 所以 $m\mathbf{a}-\mathbf{b}=m(1,0)-(-1,m)=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m)$. 因为 $\mathbf{a}\perp (m\mathbf{a}-\mathbf{b})$， 所以 $\mathbf{a}\cdot (m\mathbf{a}-\mathbf{b})=0$， 即 $1\times (m+1)+0\times (-m)=0⟹m+1=0⟹m=-1$. 故答案为：$-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量垂直的坐标运算。
2. 核心方法：数量积坐标公式直接计算。
3. 避坑指南：向量线性运算时注意对应坐标的加减及符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 平面向量基础填空题。
2. 结论推广: 熟练掌握 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0⟺\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$（非零向量）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2010-安徽卷文-03 单-向量垂直判定