2010-安徽卷文-03 单-向量垂直判定

本题导读

考查向量坐标运算。$|\mathbf{a}|=1\ne \frac{\sqrt{2}}{2}=|\mathbf{b}|$，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\frac{1}{2}$，$(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=0$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(文)） 设向量 $\mathbf{a}=(1,0)$，$\mathbf{b}=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$，则下列结论中正确的是()

A. $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$　　　B. $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　C. $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$　　　D. $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{b}$ 垂直

🔍【思路分析】

破题导航

1. $|\mathbf{a}|=1$，$|\mathbf{b}|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，A 错。
2. $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\frac{1}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$，B 错。
3. 坐标不成比例（$1:\frac{1}{2}\ne 0:\frac{1}{2}$），C 错。
4. $(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$，D 对。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

$|\mathbf{a}|=1$，$|\mathbf{b}|=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，选项 A 错误； $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=1\times \frac{1}{2}+0\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2},$ 选项 B 错误；两向量坐标不成比例，选项 C 错误； $(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0,$ 故 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{b}$ 垂直，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直与模的坐标运算

核心方法：逐项计算验证：模、数量积、共线、垂直四个层面

避坑指南：$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 的模是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 不是 $\frac{1}{2}$；平行要坐标成比例，$(1,0)$ 与 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 不成比例。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：坐标向量小题的”四选一真假”模式：模、数量积、平行、垂直各设一枝。

结论推广：$(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-|\mathbf{b}{|}^2$ 可作为速算通道。

方法推广：垂直的判定最终落在数量积为零上，用坐标逐分量验证即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积
• 2009-辽宁卷文-04 单-向量模与夹角
• 2011-福建卷文-13 填-向量数量积坐标运算
• 2009-浙江卷文-05 单-向量坐标运算