2018-北京卷文-14 填-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理，以及三角形面积公式。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷文）若 $△ABC$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+c^2-b^2)$，且 $\angle C$ 为钝角，则 $\angle B=$ $\underline{}$；$\frac{c}{a}$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用余弦定理将 $a^2+c^2-b^2$ 化为 $2ac\cos C$，代入面积公式化简。
2. 结合三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$，建立边角关系求出 $\angle B$。
3. 利用正弦定理将边长比转化为正弦比，结合 $\angle C$ 为钝角的范围求出 $\frac{c}{a}$ 的取值范围。

✅【答案】

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$\angle B=60^{\circ }$；$\frac{c}{a}$ 的取值范围是 $(2,+\infty )$。

✍【详细解析】

Abstract

【解析过程】 由余弦定理，$a^2+c^2-b^2=2ac\cos B$，代入已知面积得

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+c^2-b^2)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2ac\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}ac\cos B$

又由三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$，故

$\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}ac\cos B$

因为 $a,c>0$，约去 $ac$ 得 $\sin B=\sqrt{3}\cos B$，即 $\tan B=\sqrt{3}$。由 $0<B<180^{\circ }$，得 $\angle B=60^{\circ }$。

由正弦定理，$\frac{c}{a}=\frac{\sin C}{\sin A}$。又 $B=60^{\circ }$，故 $A+C=120^{\circ }$，即 $A=120^{\circ }-C$。

因为 $\angle C$ 为钝角，$90^{\circ }<C<120^{\circ }$，从而 $0<A<30^{\circ }$。于是

$\frac{c}{a}=\frac{\sin C}{\sin (120^{\circ }-C)}$

当 $C\to 90^{\circ }$ 时，$\frac{c}{a}\to 2$；当 $C\to 120^{\circ }$ 时，$\frac{c}{a}\to +\infty$，且 $\frac{c}{a}$ 在此区间内单调递增，故 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是 $(2,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正余弦定理、边角互化、三角函数取值范围。
2. 核心方法：利用余弦定理转化边为角，正弦定理转化边为正弦值。
3. 避坑指南：注意三角形内角和定理及钝角范围对角的高效限制。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解三角形压轴填空题。
2. 结论推广: 熟练掌握解三角形中边角互化的标准代数变形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2012-山东卷文-17 解-解三角形与等比数列
• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形