2018-北京卷文-16 解-二倍角公式

本题导读

本题考查二倍角公式与辅助角公式。核心在于辅助角公式法、数形结合法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷文）已知函数 $f(x)={\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x\cos x$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 若 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{3},m\right]$ 上的最大值为 $\frac{3}{2}$，求 $m$ 的最小值.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问利用降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ 和辅助角公式（或二倍角公式）将 $f(x)$ 化为 $A\sin (\omega x+\phi )+k$ 的形式，求最小正周期。
2. 第(2)问根据函数的单调区间与给定区间端点，结合最大值求解参数 $m$ 的最小值。

✅【答案】

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(1) 最小正周期为 $\pi$

(2) $m$ 的最小值为 $\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $f(x)={\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x\cos x$， 利用降幂公式与二倍角公式化简： $f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}$. 函数的最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$.

(2) 令 $2x-\frac{\pi }{6}=z$. 当 $x\in \left[-\frac{\pi }{3},m\right]$ 时，$z\in \left[-\frac{5\pi }{6},2m-\frac{\pi }{6}\right]$. 要求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{3},m\right]$ 上的最大值为 $\frac{3}{2}$， 即 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}\le \frac{3}{2}⟹\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\le 1$. 正弦函数取最大值 1 对应的自变量集合为 $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})⟹x=\frac{\pi }{3}+k\pi$. 当 $k=0$ 时，$x=\frac{\pi }{3}$ 是第一个取得最大值的点。 为了使区间 $\left[-\frac{\pi }{3},m\right]$ 能够包含取得最大值的点，且使 $m$ 最小， 区间的右端点 $m$ 必须大于或等于 $\frac{\pi }{3}$. 因此 $m$ 的最小值为 $\frac{\pi }{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变换、辅助角公式、三角函数最值。
2. 核心方法：整体换元法与三角函数图象性质。
3. 避坑指南：化简时注意系数的准确提取，求解区间参数时结合周期性防止漏解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数解答题常考题型。
2. 结论推广: 熟练掌握 $a\sin x+b\cos x$ 的化简及在闭区间上的最值求法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2021-浙江卷-18 解-三角综合
• 2002-苏豫粤卷-01 单-三角函数的最小正周期
• 2007-天津卷理-17 解-三角函数在闭区间上最值