2018-北京卷文-17 解-古典概型

本题导读

本题考查古典概型与频率估计概率。核心在于频率计算法、分类讨论与极值优化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷文）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型	第一类	第二类	第三类	第四类	第五类	第六类
电影部数	140	50	300	200	800	510
好评率	0.4	0.2	0.15	0.25	0.2	0.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

(1) 从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

(2) 随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

(3) 电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化. 假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问计算样本总电影部数，以及第四类电影中获得好评的部数，利用古典概型求解。
2. 第(2)问先计算所有电影中获得好评的总部数，进而求出没有获得好评的总概率（或用 1 减去好评总概率）。
3. 第(3)问分析总比值的变化规律：要使加权平均好评率（即总比值）最大，应将增加 0.1 的增量分配给电影部数最多的那一类，将减少 0.1 的减量分配给电影部数最少的那一类。

✅【答案】

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(1) $0.025$

(2) $0.814$

(3) 第五类电影的好评率增加 $0.1$，第二类电影的好评率减少 $0.1$

✍【详细解析】

Abstract

总电影部数 $N=140+50+300+200+800+510=2000$. (1) 第四类电影的部数为 200，其好评率为 0.25， 故获得好评的第四类电影部数为 $200\times 0.25=50$. 随机选取 1 部电影，这部电影是获得好评的第四类电影的概率为： $P=\frac{50}{2000}=\frac{1}{40}=0.025$.

(2) 获得好评的电影总部数为： $140\times 0.4+50\times 0.2+300\times 0.15+200\times 0.25+800\times 0.2+510\times 0.1$ $=56+10+45+50+160+51=372$. 获得好评的概率为 $\frac{372}{2000}=0.186$. 因此，随机选取 1 部电影，这部电影没有获得好评的概率的估计值为： $1-0.186=0.814$.

(3) 获得好评的电影总部数与总部数的比值为总体好评率。要使该比值最大，应当把好评率增加 0.1 的优惠给电影部数最多的类别（即第五类，部数为 800），把好评率减少 0.1 的惩罚给电影部数最少的类别（即第二类，部数为 50）。 结论：第五类电影的好评率增加 0.1，第二类电影的好评率减少 0.1.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：统计表格分析、古典概型、加权平均优化。
2. 核心方法：极端调整法（把好资源给基数大的，把坏调整给基数小的）。
3. 避坑指南：第(2)问中计算好评总数时，各项乘积要仔细核对，防止加减失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 统计与概率应用题常考题型。
2. 结论推广: 加权平均数的最值优化问题中，权重越大，调整其对应分项数值对整体结果的影响越大。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-15 解-古典概型与估计
• 2000-上海卷理-10 填-古典概型
• 2000-新课标理-17 解-古典概型