2013-天津卷文-15 解-古典概型与估计

本题导读

本题考查用样本估计总体。核心在于频率估计概率、列举法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(文)）某产品的三个质量指标分别为 $x$ ， $y$ ， $z$ ，用综合指标 $S = x + y + z$ 评价该产品的等级. 若 $S ⩽ 4$ ，则该产品为一等品. 现从一批该产品中，随机抽取 $10$ 件产品作为样本，其质量指标列表如下：

产品编号 $A_{1}$ $A_{2}$ $A_{3}$ $A_{4}$ $A_{5}$
质量指标 $(x, y, z)$ $(1, 1, 2)$ $(2, 1, 1)$ $(2, 2, 2)$ $(1, 1, 1)$ $(1, 2, 1)$
产品编号 $A_{6}$ $A_{7}$ $A_{8}$ $A_{9}$ $A_{10}$
质量指标 $(x, y, z)$ $(1, 2, 2)$ $(2, 1, 1)$ $(2, 2, 1)$ $(1, 1, 1)$ $(2, 1, 2)$

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；

(2)在该样本的一等品中，随机抽取 $2$ 件产品. ①用产品编号列出所有可能的结果； ②设事件 $B$ 为”在取出的 $2$ 件产品中，每件产品的综合指标 $S$ 都等于 $4$ “，求事件 $B$ 发生的概率.

产品编号	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$
质量指标 $(x, y, z)$	$(1, 1, 2)$	$(2, 1, 1)$	$(2, 2, 2)$	$(1, 1, 1)$	$(1, 2, 1)$
产品编号	$A_{6}$	$A_{7}$	$A_{8}$	$A_{9}$	$A_{10}$
质量指标 $(x, y, z)$	$(1, 2, 2)$	$(2, 1, 1)$	$(2, 2, 1)$	$(1, 1, 1)$	$(2, 1, 2)$

🔍【思路分析】

破题导航

$(1)$ 逐件算 $S$ ： $4, 4, 6, 3, 4, 5, 4, 5, 3, 5$ → $S ⩽ 4$ 的有 $A_{1}, A_{2}, A_{4}, A_{5}, A_{7}, A_{9}$ 共 $6$ 件 → 一等品率 $= \frac{6}{10} = 0.6$ 。

$(2)$ ①一等品集合为 ${A_{1}, A_{2}, A_{4}, A_{5}, A_{7}, A_{9}}$ ，任取 $2$ 件共 $C_{6}^{2} = 15$ 种结果； ②其中 $S$ 恰为 $4$ 的是 $A_{1}, A_{2}, A_{5}, A_{7}$ ，从这 $4$ 件里取 $2$ 件共 $C_{4}^{2} = 6$ 种 → $P (B) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ 。

✅【答案】

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(1) $0.6$ ；(2)①见解析（ $15$ 种）；② $\frac{2}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 逐一计算十件产品的综合指标： $S_{A_{1}} = 4, S_{A_{2}} = 4, S_{A_{3}} = 6, S_{A_{4}} = 3, S_{A_{5}} = 4,$ $S_{A_{6}} = 5, S_{A_{7}} = 4, S_{A_{8}} = 5, S_{A_{9}} = 3, S_{A_{10}} = 5.$ 满足 $S ⩽ 4$ 的有 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{4}$ ， $A_{5}$ ， $A_{7}$ ， $A_{9}$ 共 $6$ 件。用样本频率估计总体概率，该批产品的一等品率约为 $\frac{6}{10} = 0.6.$ （2） ①样本中共有 $6$ 件一等品： $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{4}$ ， $A_{5}$ ， $A_{7}$ ， $A_{9}$ 。从中任取 $2$ 件，所有可能结果为 ${A_{1}, A_{2}}, {A_{1}, A_{4}}, {A_{1}, A_{5}}, {A_{1}, A_{7}}, {A_{1}, A_{9}},$ ${A_{2}, A_{4}}, {A_{2}, A_{5}}, {A_{2}, A_{7}}, {A_{2}, A_{9}}, {A_{4}, A_{5}},$ ${A_{4}, A_{7}}, {A_{4}, A_{9}}, {A_{5}, A_{7}}, {A_{5}, A_{9}}, {A_{7}, A_{9}},$ 共 $C_{6}^{2} = 15$ 种，且每种结果出现的可能性相同。 ②在这些一等品中，综合指标 $S$ 恰为 $4$ 的是 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{5}$ ， $A_{7}$ 。事件 $B$ 要求取出的 $2$ 件产品的 $S$ 都等于 $4$ ，即从这 $4$ 件中取 $2$ 件，共 $C_{4}^{2} = 6$ 种。故 $P (B) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} .$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：用频率估计概率与古典概型

核心方法： $(1)$ 由 $S = x + y + z$ 逐一算出十件产品的 $S$ ： $A_{1}, A_{2}, A_{5}, A_{7}$ 的 $S = 4$ ， $A_{4}, A_{9}$ 的 $S = 3$ ，其余（ $A_{3}, A_{6}, A_{8}, A_{10}$ ）的 $S$ 分别为 $6, 5, 5, 5$ ；一等品共 $6$ 件 → 一等品率 $\frac{6}{10} = 0.6$ 。 $(2)$ ①从这 $6$ 件中任取 $2$ 件，共 $C_{6}^{2} = 15$ 种；② $S = 4$ 的一等品为 $A_{1}, A_{2}, A_{5}, A_{7}$ 共 $4$ 件，故 $P (B) = \frac{C _{4}^{2}}{C _{6}^{2}} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

避坑指南： $(2)$ 的坑在分母： $(2)$ 里的事件是在”该样本的一等品中抽 $2$ 件”这个前提下发生的，所以总事件数是 $C_{6}^{2} = 15$ （一等品之间），不能拿 $10$ 件产品当总体；另外 $S = 4$ 与”一等品”不是一回事—— $A_{4}, A_{9}$ 是一等品但 $S = 3$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：用样本频率估计总体概率与古典概型（枚举计数）。

结论推广：用频率估计概率；古典概型（有限等可能）；组合计数。

方法推广：先按定义算指标筛出合格品 → 用频率估计概率 → 列举（或组合计数）求条件概率。

🔗【关联脉络】

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15.01 古典概型

类题演练 (Links)

2013-北京卷文-16 解-空气质量概率

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2013-广东卷文-17 解-分层抽样与古典概型

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