2018-北京卷理-09 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的定义，以及等差数列的通项公式。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷理）设 $\{a_n\}$ 是等差数列，且 $a_1=3$，$a_2+a_5=36$，则 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设基本量：设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。
2. 列方程：将已知项 $a_2,a_5$ 用 $a_1$ 和 $d$ 表示，代入 $a_2+a_5=36$。
3. 求解 $d$：解一元一次方程得到公差。
4. 写通项：利用公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 整理得出结果。

✅【答案】

点击查看答案

$a_n=6n-3$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $a_n=6n-3$

【解析过程】 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 已知 $a_1=3$，由 $a_2+a_5=36$ 得： $(a_1+d)+(a_1+4d)=36$ 整理得： $2a_1+5d=36$ 将 $a_1=3$ 代入： $2\times 3+5d=36$ $6+5d=36$ $5d=30⟹d=6$

所以通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d$ $a_n=3+(n-1)\times 6$ $a_n=3+6n-6$ $a_n=6n-3$

故填入：$a_n=6n-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 基本量法：这是解决等差/等比数列最通用的方法，即“万物皆可 $a_1,d$”。
2. 性质法（提速）：利用等差数列性质 $a_2+a_5=a_1+a_6=36$。 已知 $a_1=3$，则 $a_6=36-3=33$。 公差 $d=\frac{a_6-a_1}{6-1}=\frac{33-3}{5}=6$。 这在某些复杂题目中可以减少计算量。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以顺便记录：

• 等差数列的通项公式 $a_n=dn+(a_1-d)$ 是关于 $n$ 的一次函数（当 $d\ne 0$ 时）。
• 其图象是分布在直线 $y=dx+(a_1-d)$ 上的一系列孤立的点。
• 斜率即为公差 $d$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和