2018-北京卷理-14 填-椭圆离心率

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与离心率。核心在于坐标转化法、几何定义法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷理）已知椭圆 $M:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，双曲线 $N:\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$.若双曲线 $N$ 的两条渐近线与椭圆 $M$ 的四个交点及椭圆 $M$ 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 $M$ 的离心率为 $\underline{}$；双曲线 $N$ 的离心率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何建模：

• 设椭圆焦点为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$。
• 正六边形的六个顶点中，有两个是焦点，另外四个是渐近线 $y=\pm \frac{n}{m}x$ 与椭圆的交点。
• 根据正六边形的对称性，焦点到原点的距离等于正六边形的边长，即 $c$ 为边长。

2. 求椭圆离心率 $e_1$：

• 设正六边形顶点为 $P$。由正六边形性质，在第一象限的顶点 $P$ 坐标为 $(c\cdot \cos 60^{\circ },c\cdot \sin 60^{\circ })=(\frac{c}{2},\frac{\sqrt{3}c}{2})$。
• 点 $P$ 在椭圆上，利用定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$。
• 计算可得 $a$ 与 $c$ 的关系，从而求出 $e_1=\frac{c}{a}$。

3. 求双曲线离心率 $e_2$：

• 渐近线经过原点和点 $P(\frac{c}{2},\frac{\sqrt{3}c}{2})$。
• 渐近线斜率 $k=\frac{\sqrt{3}c/2}{c/2}=\sqrt{3}$。
• 由 $\frac{n}{m}=\sqrt{3}$，结合 $e_2=\sqrt{1+(\frac{n}{m}{)}^2}$ 求解。

✅【答案】

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椭圆 $M$ 的离心率为 $\sqrt{3}-1$；双曲线 $N$ 的离心率为 $2$。

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\sqrt{3}-1$ ； $2$

【解析过程】 设椭圆的焦点为 $F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$，则 $c^2=a^2-b^2$，椭圆离心率为 $e=\frac{c}{a}$。

六个点（两个焦点 + 四个交点）关于原点中心对称，且两个焦点在横轴上，因此正六边形的另外四个顶点分别为 $\left(\frac{c}{2},\frac{\sqrt{3}c}{2}\right)$、$\left(\frac{c}{2},-\frac{\sqrt{3}c}{2}\right)$、$\left(-\frac{c}{2},\frac{\sqrt{3}c}{2}\right)$、$\left(-\frac{c}{2},-\frac{\sqrt{3}c}{2}\right)$。

所以双曲线的两条渐近线斜率的绝对值为 $\sqrt{3}$，即 $\frac{n}{m}=\sqrt{3}$。取其中一个交点 $\left(\frac{c}{2},\frac{\sqrt{3}c}{2}\right)$ 代入椭圆方程，得

$\frac{c^2}{4a^2}+\frac{3c^2}{4b^2}=1$

又 $b^2=a^2-c^2=a^2(1-e^2)$，故

$\frac{e^2}{4}+\frac{3e^2}{4(1-e^2)}=1$

化简得 $e^2(1-e^2)+3e^2=4(1-e^2)$，即 $e^4-8e^2+4=0$，解得 $e^2=4\pm 2\sqrt{3}$。由 $0<e<1$，取 $e^2=4-2\sqrt{3}=(\sqrt{3}-1{)}^2$，故椭圆离心率 $e=\sqrt{3}-1$。

双曲线的离心率 $e^{\prime }=\sqrt{1+{\left(\frac{n}{m}\right)}^2}=\sqrt{1+3}=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 正六边形的对称美：正六边形的 6 个顶点都在同一个圆上（半径为 $R$），且每相邻两个顶点与中心连线的夹角都是 $60^{\circ }$。
2. 渐近线斜率与离心率的关系：对于双曲线 $\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$，记住快捷公式 $e=\sqrt{1+k^2}$，其中 $k$ 是渐近线的斜率。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理以下常考结论：

• 椭圆中接正方形：交点坐标为 $(\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}})$。
• 双曲线渐近线夹角：若夹角为 $60^{\circ }$，则 $\frac{b}{a}=\tan 30^{\circ }$ 或 $\tan 60^{\circ }$，对应离心率为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 或 $2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率