2018-北京卷理-18 解-导数运算法则

本题导读

本题考查导数的运算。核心在于导数法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷理）设函数 $f(x)=[a{x}^2-(4a+1)x+4a+3]e^x$.

(1) 若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行，求 $a$；

(2) 若 $f(x)$ 在 $x=2$ 处取得极小值，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导：利用乘法法则 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$。注意 $e^x$ 的导数仍为 $e^x$。

2. 第一问（切线）：

• 切线与 $x$ 轴平行 $⟺$ 该点处导数 $f^{\prime }(1)=0$。

• 代入 $x=1$ 解关于 $a$ 的方程。

3. 第二问（极小值）：

• $x=2$ 取得极小值，首先需满足 $f^{\prime }(2)=0$（必要条件）。

• 其次，需要 $f^{\prime }(x)$ 在 $2$ 的左侧为负，右侧为正（充分条件）。

• 导函数 $f^{\prime }(x)$ 通常可以因式分解，通过分析二次项系数或另一个根的位置来分类讨论。

✅【答案】

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(1) $a=1$

(2) $a>\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解：

对 $f(x)$ 求导：

$f^{\prime }(x)=[2ax-(4a+1)]e^x+[a{x}^2-(4a+1)x+4a+3]e^x$

$f^{\prime }(x)=[a{x}^2-(2a+1)x+2]e^x$

因为曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行，

所以 $f^{\prime }(1)=0$，即：

$[a\cdot 1^2-(2a+1)\cdot 1+2]e^1=0$

$(a-2a-1+2)e=0$

$(-a+1)e=0⟹a=1$。

经检验，$a=1$ 时符合题意。

(2)解：

由(1)得 $f^{\prime }(x)=[a{x}^2-(2a+1)x+2]e^x$。

注意到二次多项式可以因式分解：

$a{x}^2-(2a+1)x+2=(ax-1)(x-2)$

所以 $f^{\prime }(x)=(ax-1)(x-2)e^x$。

令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x_1=2$，$x_2=\frac{1}{a}$（当 $a\ne 0$ 时）。

若 $f(x)$ 在 $x=2$ 处取得极小值，则 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=2$ 附近的符号应为“左负右正”。

分情况讨论：

1. 若 $a>0$：

导函数 $f^{\prime }(x)=a(x-\frac{1}{a})(x-2)e^x$。

要使 $x=2$ 为极小值点，则 $2$ 必须是两个根中较大的那个（即 $x_1>x_2$），

所以 $2>\frac{1}{a}$。

由于 $a>0$，解得 $a>\frac{1}{2}$。

2. 若 $a=0$：

$f^{\prime }(x)=-(x-2)e^x$。

当 $x<2$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；当 $x>2$ 时，$f^{\prime }(x)<0$。

此时 $x=2$ 为极大值点，不符题意。

3. 若 $a<0$：

$f^{\prime }(x)=a(x-\frac{1}{a})(x-2)e^x$。

开口向下，在两根之间 $f^{\prime }(x)>0$，在两根之外 $f^{\prime }(x)<0$。

此时 $\frac{1}{a}<0$，故根的分布为 $\frac{1}{a}<2$。

在 $x=2$ 附近，导函数符号由正变负，此时 $x=2$ 为极大值点，不符题意。

综上所述，$a$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2},+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 因式分解是关键：很多导数大题的导函数看起来很复杂，但通常都能因式分解。看到 $a{x}^2-(2a+1)x+2$，要敏锐觉察到它可以拆成 $(ax-1)(x-2)$。

2. 极值的判定：极小值点 $\to$ 导数“先降后升” $\to$ 符号“左负右正”。

3. 分类讨论的严谨性：参数 $a$ 的正负直接决定了二次函数的开口方向，必须优先讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以画出导函数符号与原函数极值的对应关系：

• 极小值：导数图象穿过 $x$ 轴，斜率从负变正。

• 极大值：导数图象穿过 $x$ 轴，斜率从正变负。

• 非极值点：导数图象接触 $x$ 轴但未穿过（如 $y=x^3$ 在 $x=0$ 处）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2008-山东卷文-21 解-三次型函数极值与大小比较

• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值

• 2005-江西卷理-18 解-平面向量的数量积坐标运算