2018-北京卷理-19 解-抛物线方程

本题导读

本题考查抛物线的标准方程。核心在于韦达定理法、坐标分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷理）已知抛物线 $C:y^2=2px$ 经过点 $P(1,2)$.过点 $Q(0,1)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 有两个不同的交点 $A,B$，且直线 $PA$ 交 $y$ 轴于 $M$，直线 $PB$ 交 $y$ 轴于 $N$.

(1) 求直线 $l$ 的斜率的取值范围；

(2) 设 $O$ 为原点，$\overrightarrow{QM}=\lambda \overrightarrow{QO}$，$\overrightarrow{QN}=\mu \overrightarrow{QO}$，求证：$\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }$ 为定值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（参数与范围）：

• 代入 $P(1,2)$ 到 $y^2=2px$ 得到 $p=2$，即抛物线为 $y^2=4x$。
• 设直线 $l:y=kx+1$。联立抛物线方程，得到关于 $x$ 的二次方程。
• 要求两个不同交点，则 $\Delta >0$。同时需注意直线不能经过点 $P$（否则无法构成直线 $PA$）。

2. 第二问（定值证明）：

• 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。利用韦达定理得到 $y_1+y_2$ 和 $y_1{y}_2$。
• 求 $M,N$ 的纵坐标：直线 $PA$ 过 $P(1,2)$ 和 $A(x_1,y_1)$，求其与 $y$ 轴交点 $M(0,y_M)$。
• 转化向量关系：由 $\overrightarrow{QM}=\lambda \overrightarrow{QO}$，已知 $Q(0,1),O(0,0)$，则 $(0,y_M-1)=\lambda (0,-1)⟹\lambda =1-y_M$。
• 同理得 $\mu =1-y_N$。
• 代入 $\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }$，利用 $x_i=\frac{y_i^2}{4}$ 将 $x$ 坐标全部换成 $y$ 坐标进行化简。

✅【答案】

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(1) $(-\infty ,-3)\cup (-3,0)\cup (0,1)$

(2) 证明见解析（定值为 $2$）

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 因为抛物线 $y^2=2px$ 经过点 $P(1,2)$， 所以 $2^2=2p\times 1⟹p=2$。抛物线方程为 $y^2=4x$。 依题意，直线 $l$ 的斜率存在，设其方程为 $y=kx+1$。 联立方程组：$\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ y^2=4x\end{array}⟹k{y}^2-4y+4=0$。 由于直线与抛物线有两个不同交点，则：

1. $k\ne 0$（若 $k=0$ 则只有一个交点）；

2. $\Delta =(-4{)}^2-4\cdot k\cdot 4=16(1-k)>0⟹k<1$。 此外，直线 $l$ 不能经过点 $P(1,2)$，代入 $2=k(1)+1⟹k\ne 1$（已包含在 $k<1$ 中）。 故 $k$ 的取值范围是 $(-\infty ,0)\cup (0,1)$。

(2)证明： 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。由 $k{y}^2-4y+4=0$ 知： $y_1+y_2=\frac{4}{k}$，$y_1{y}_2=\frac{4}{k}$。 直线 $PA$ 的方程为：$y-2=\frac{y_1-2}{x_1-1}(x-1)$。 令 $x=0$，得 $M$ 点的纵坐标 $y_M=2-\frac{y_1-2}{x_1-1}=\frac{2x_1-2-y_1+2}{x_1-1}=\frac{2x_1-y_1}{x_1-1}$。 将 $x_1=\frac{y_1^2}{4}$ 代入： $y_M=\frac{\frac{y_1^2}{2}-y_1}{\frac{y_1^2}{4}-1}=\frac{2y_1(y_1-2)}{(y_1-2)(y_1+2)}=\frac{2y_1}{y_1+2}$。 已知 $Q(0,1),O(0,0)$，则 $\overrightarrow{QO}=(0,-1)$，$\overrightarrow{QM}=(0,y_M-1)$。 由 $\overrightarrow{QM}=\lambda \overrightarrow{QO}$ 得 $y_M-1=-\lambda ⟹\lambda =1-y_M$。 $\lambda =1-\frac{2y_1}{y_1+2}=\frac{2-y_1}{y_1+2}$。 同理，$\mu =\frac{2-y_2}{y_2+2}$。 则 $\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }=\frac{y_1+2}{2-y_1}+\frac{y_2+2}{2-y_2}=\frac{(y_1+2)(2-y_2)+(y_2+2)(2-y_1)}{(2-y_1)(2-y_2)}$ 分子 $=(2y_1-y_1{y}_2+4-2y_2)+(2y_2-y_1{y}_2+4-2y_1)=8-2y_1{y}_2$。 分母 $=4-2(y_1+y_2)+y_1{y}_2$。 由第一问知 $y_1+y_2=y_1{y}_2=\frac{4}{k}$，代入上式： $\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }=\frac{8-2(\frac{4}{k})}{4-2(\frac{4}{k})+\frac{4}{k}}=\frac{8-\frac{8}{k}}{4-\frac{4}{k}}=\frac{8(1-\frac{1}{k})}{4(1-\frac{1}{k})}=2$。 故 $\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }$ 为定值 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 坐标代换的简洁性：在抛物线问题中，通常将 $x$ 用 $\frac{y^2}{2p}$ 代换，这样可以避免出现根号，且因式分解（如 $y^2-4=(y-2)(y+2)$）非常直观。
2. 向量比例的代数化：$\overrightarrow{QM}=\lambda \overrightarrow{QO}$ 在共线于轴的情况下，可以直接看作纵坐标差的比值。
3. 韦达定理的妙用：本题中 $y_1+y_2=y_1{y}_2$ 是一个非常完美的巧合（源于直线过 $Q(0,1)$），这极大简化了最后的计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个模型：

• 若直线过 $y$ 轴上一点 $(0,n)$ 且与 $y^2=2px$ 交于两点，则 $y_1{y}_2$ 通常与该截距 $n$ 和参数 $p$ 有关。
• 定值规律：解析几何中的定值往往暗示了某种隐蔽的调和分割关系或几何对称性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-18 解-抛物线的标准方程与定义
• 2013-北京卷理-07 单-抛物线方程
• 2013-四川卷理-06 单-抛物线的标准方程与焦点坐标