2018-天津卷文-07 单-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及双曲线的离心率。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷文）已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $2$，过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $A,B$ 两点. 设 $A,B$ 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 $d_1$ 和 $d_2$，且 $d_1+d_2=6$，则双曲线的方程为 ()

A. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1$

C. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据离心率 $e=\frac{c}{a}=2$，得到 $c=2a$ 及 $b^2=c^2-a^2=3a^2$。
2. 求出右焦点坐标及过焦点垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线的交点 $A,B$ 坐标。
3. 写出双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线距离公式表示 $d_1,d_2$，结合 $d_1+d_2=6$ 求出参数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由离心率 $e=\frac{c}{a}=2$，得 $c=2a$，进而 $b^2=c^2-a^2=3a^2$，即 $b=\sqrt{3}a$。

右焦点为 $F(c,0)=(2a,0)$。过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线 $x=2a$ 与双曲线交于两点，代入双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，得 $\frac{(2a{)}^2}{a^2}-\frac{y^2}{3a^2}=1$，即 $4-\frac{y^2}{3a^2}=1$，解得 $y=\pm 3a$。不妨设 $A(2a,3a)$，$B(2a,-3a)$。

取一条渐近线 $bx-ay=0$，即 $\sqrt{3}x-y=0$。点 $A(2a,3a)$、$B(2a,-3a)$ 到该渐近线的距离分别为

$d_1=\frac{|\sqrt{3}\cdot 2a-3a|}{\sqrt{3+1}}=\frac{(2\sqrt{3}-3)a}{2},d_2=\frac{|\sqrt{3}\cdot 2a+3a|}{2}=\frac{(2\sqrt{3}+3)a}{2}$

（注意 $2\sqrt{3}>3$，故 $|2\sqrt{3}-3|=2\sqrt{3}-3$。）于是

$d_1+d_2=\frac{(2\sqrt{3}-3)a+(2\sqrt{3}+3)a}{2}=2\sqrt{3}a=2b$

由 $d_1+d_2=6$，得 $2b=6$，即 $b=3$。再由 $b^2=3a^2$，得 $a^2=3$。故双曲线方程为 $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的几何性质、点到直线距离公式。
2. 核心方法：坐标法与方程联立。
3. 避坑指南：去绝对值符号时要注意判断代数式的正负，避免化简错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考双曲线性质的综合计算压轴题。
2. 结论推广: 双曲线上任意一点到渐近线的距离之积为定值 $\frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2013-北京卷理-06 单-双曲线性质