2018-天津卷文-14 填-分段函数

本题导读

本题考查分段函数的性质，以及绝对值不等式恒成立问题。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷文）已知 $a\in \mathbf{R}$，函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2x+a-2,& x\le 0,\\ -x^2+2x-2a,& x>0.\end{array}$ 若对任意 $x\in [-3,+\infty ),f(x)\le |x|$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将绝对值不等式 $f(x)\le |x|$ 在给定区间 $[-3,+\infty )$ 上按 $x\le 0$ 和 $x>0$ 进行分段转化。
2. 分别在两个区间上利用恒成立条件求出参数 $a$ 的取值范围并取交集。

✅【答案】

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$\left[\frac{1}{8},2\right]$

✍【详细解析】

Abstract

不等式 $f(x)\le |x|$ 对任意 $x\in [-3,+\infty )$ 恒成立，等价于：

1. 当 $-3\le x\le 0$ 时，$|x|=-x$，要求 $x^2+2x+a-2\le -x$ 恒成立， 即 $x^2+3x+a-2\le 0$ 在 $[-3,0]$ 上恒成立。 设 $g(x)=x^2+3x+a-2$，其对称轴为 $x=-\frac{3}{2}$。 只需满足区间端点值小于等于 $0$ 即可： $g(-3)=(-3{)}^2+3(-3)+a-2=a-2\le 0⟹a\le 2$
2. 当 $x>0$ 时，$|x|=x$，要求 $-x^2+2x-2a\le x$ 恒成立， 即 $2a\ge -x^2+x$ 对 $x>0$ 恒成立。 设 $h(x)=-x^2+x=-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$，其最大值为 $\frac{1}{4}$。 因此需要： $2a\ge \frac{1}{4}⟹a\ge \frac{1}{8}$ 综上所述，参数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{8},2\right]$。 答案：$\left[\frac{1}{8},2\right]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：恒成立问题、二次函数的最值。
2. 核心方法：分离参数法与极值法。
3. 避坑指南：分段函数恒成立时，各段条件必须同时满足（取交集）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数与不等式综合压轴填空题。
2. 结论推广: 恒成立问题 $f(x)\le g(x)$ 恒成立 $⟺f(x{)}_{\max }\le g(x{)}_{\min }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2010-上海卷文-22 解-接近新定义
• 2022-浙江卷-09 单-绝对值不等式
• 1989-全国卷理-14 填-绝对值不等式