2018-天津卷理-12 填-圆的方程

本题导读

本题考查圆的标准方程与几何性质，以及直线的参数方程与普通方程的互化。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）已知圆 $x^2+y^2-2x=0$ 的圆心为 $C$，直线 $\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}$ ($t$ 为参数) 与该圆相交于 $A,B$ 两点，则 $△ABC$ 的面积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简圆的方程：通过配方法将圆的一般方程化为标准方程，确定圆心 $C$ 的坐标和半径 $r$。
2. 转化直线方程：将直线的参数方程消去参数 $t$，化为直角坐标方程 $Ax+By+C=0$。
3. 计算圆心到直线的距离 $d$：利用点到直线距离公式求出 $d$。
4. 求弦长 $|AB|$：利用圆的几何性质（勾股定理）：$(\frac{|AB|}{2}{)}^2+d^2=r^2$，求出底边 $|AB|$。
5. 计算面积：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot d$。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{1}{2}$

【解析过程】

1. 圆的化简： 方程 $x^2+y^2-2x=0⟹(x-1{)}^2+y^2=1$。 所以圆心 $C(1,0)$，半径 $r=1$。
2. 直线的转化： 由参数方程知：$\frac{\sqrt{2}}{2}t=x+1$ 且 $\frac{\sqrt{2}}{2}t=3-y$。 所以 $x+1=3-y⟹x+y-2=0$。
3. 计算距离 $d$： 圆心 $C(1,0)$ 到直线 $x+y-2=0$ 的距离： $d=\frac{|1+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
4. 求弦长 $|AB|$： 在 $Rt△CAD$ 中（$D$ 为 $AB$ 中点）： $(\frac{|AB|}{2}{)}^2=r^2-d^2=1^2-(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ 所以 $\frac{|AB|}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹|AB|=\sqrt{2}$。
5. 计算三角形面积： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times |AB|\times d=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$

故填入：$\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 参数方程消参：对于这种方向向量为 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ 的标准参数方程，最快的方法是观察两式系数比例或直接加减消去 $t$。
2. 几何法优先：在处理直线与圆的问题时，利用“半径、弦长一半、弦心距”构成的直角三角形（几何法）通常比联立方程求交点（代数法）要简便得多。
3. 特殊性结论：本题中 $d=\frac{\sqrt{2}}{2}$，而 $r=1$，正好满足 $d=\frac{\sqrt{2}}{2}r$，这意味着 $△ABC$ 是一个直角三角形（$\angle ACB=90^{\circ }$），直接用 $S=\frac{1}{2}{r}^2$ 也能得出结果。

🚀 【下一步建议】 需要我继续录入 第 13 题（平面向量） 或 第 14 题（导数与切线） 的解析代码吗？

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-19 解-椭圆弦长面积
• 2013-安徽卷文-06 单-圆的弦长
• 1993-旧高考理-27