2013-安徽卷文-06 单-圆的弦长

本题导读

本题考查圆的标准方程，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(文)） 直线 $x+2y-5+\sqrt{5}=0$ 被圆 $x^2+y^2-2x-4y=0$ 截得的弦长为()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $4\sqrt{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆：$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$，圆心 $(1,2)$，$r=\sqrt{5}$。
2. $d=\frac{|1+2\times 2-5+\sqrt{5}|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1$。
3. 弦长 $=2\sqrt{5-1}=4$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2-2x-4y=0$ 配方： $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5,$ 圆心 $C(1,2)$，半径 $r=\sqrt{5}$。 圆心到直线 $x+2y-5+\sqrt{5}=0$ 的距离 $d=\frac{|1+2\times 2-5+\sqrt{5}|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|\sqrt{5}|}{\sqrt{5}}=1.$ 由垂径定理，半弦长 $\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{5-1}=2,$ 故所截弦长为 $2\times 2=4$。 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的弦长（几何法）

核心方法：圆 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$，$r=\sqrt{5}$；圆心到直线距离 $d=\frac{|1+4-5+\sqrt{5}|}{\sqrt{5}}=1$；弦长 $=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{4}=4$

避坑指南：弦长公式 $2\sqrt{r^2-d^2}$ 里是平方差——把 $d^2$ 写成 $d$ 或忘开方就会错；圆心到直线距离公式分子是整体绝对值，$\sqrt{5}$ 项别丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆的位置关系（弦长，安徽卷选择题）。

结论推广：圆心到直线距离 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$；弦长 $=2\sqrt{r^2-d^2}$。

方法推广：圆一般方程配方定圆心半径 → 算 $d$ → 勾股求半弦长。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-13 填-圆最短弦
• 2013-新课标I卷文-21 解-椭圆与圆的公切线
• 2013-大纲卷文-16 填-球的表面积