2018-天津卷理-15 解-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于边角互化法、待定系数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$.已知 $b\sin A=a\cos (B-\frac{\pi }{6})$.

(1) 求角 $B$ 的大小；

(2) 设 $a=2,c=3$，求 $b$ 和 $\sin (2A-B)$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：求角 $B$：

• 题目给出的条件是边角混合。利用正弦定理进行“边化角”，将 $b$ 换成 $\sin B$，$a$ 换成 $\sin A$。
• 消去 $\sin A$（因为 $\sin A\ne 0$），得到关于 $B$ 的三角方程。
• 展开 $\cos (B-\frac{\pi }{6})$，整理出 $\tan B$ 的值。

2. 第二问：求 $b$ 与特定三角函数值：

• 求 $b$：已知两边 $a,c$ 及其夹角 $B$，直接套用余弦定理。
• 求 $\sin (2A-B)$：
  • 需要知道 $\sin 2A$ 和 $\cos 2A$，也就是要先求出 $\sin A$ 和 $\cos A$。
  • 利用正弦定理 $\sin A=\frac{a\sin B}{b}$ 求出 $\sin A$，结合 $a<c⟹A<C$ 判断 $A$ 为锐角，求出 $\cos A$。
  • 最后利用二倍角公式和两角差的正弦公式展开计算。

✅【答案】

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(1) $B=\frac{\pi }{3}$

(2) $b=\sqrt{7}$，$\sin (2A-B)=\frac{3\sqrt{3}}{14}$

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 在 $△ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，有 $b\sin A=a\sin B$。 已知 $b\sin A=a\cos (B-\frac{\pi }{6})$，代入得： $a\sin B=a\cos (B-\frac{\pi }{6})$ 因为 $a>0$，所以 $\sin B=\cos (B-\frac{\pi }{6})$。 展开右侧： $\sin B=\cos B\cos \frac{\pi }{6}+\sin B\sin \frac{\pi }{6}$ $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\frac{1}{2}\sin B$ 整理得： $\frac{1}{2}\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B⟹\tan B=\sqrt{3}$ 因为 $B\in (0,\pi )$，所以 $B=\frac{\pi }{3}$。

(2) ① 求 $b$： 由余弦定理，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。 代入 $a=2,c=3,B=\frac{\pi }{3}$： $b^2=2^2+3^2-2\times 2\times 3\times \frac{1}{2}=4+9-6=7$ 所以 $b=\sqrt{7}$。

② 求 $\sin (2A-B)$： 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得： $\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ 因为 $a=2,c=3$，则 $a<c⟹A<C$，且 $B=60^{\circ }$，故 $A$ 必为锐角。 $\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{3}{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$ 由此可得： $\sin 2A=2\sin A\cos A=2\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\times \frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$ $\cos 2A=1-2{\sin }^{2}A=1-2\times \frac{3}{7}=\frac{1}{7}$ 则： $\sin (2A-B)=\sin 2A\cos B-\cos 2A\sin B$ $=\frac{4\sqrt{3}}{7}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{7}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}-\sqrt{3}}{14}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$ 所以 $\sin (2A-B)$ 的值为 $\frac{3\sqrt{3}}{14}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 边角互化的选择：如果题目中比例关系明显（如 $a\sin B=b\sin A$），优先用正弦定理；如果涉及平方项或求第三边，优先用余弦定理。
2. 角的范围判断：在求出 $\sin A$ 后求 $\cos A$ 时，务必通过边长关系（大边对大角）确认 $A$ 的开闭区间，防止出现正负号错误。
3. 公式链条：解三角形大题通常是“定理 $\to$ 基本三角函数 $\to$ 恒等变换公式”的组合。

🚀 【下一步建议】 需要我继续录入 第 16 题（概率统计：离散型随机变量） 的解析代码吗？

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2006-天津卷理-17 解-两角和的正弦公式、二倍角公式
• 2009-天津卷理-17