2018-天津卷理-17 解-空间直角坐标系

本题导读

本题考查空间直角坐标系的建立。核心在于空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）如图，$AD//BC$ 且 $AD=2BC$，$AD\perp CD$，$EG//AD$ 且 $EG=AD$，$CD//FG$ 且 $CD=2FG$，$DG\perp$ 平面 $ABCD$，$DA=DC=DG=2$.

(1) 若 $M$ 为 $CF$ 的中点，$N$ 为 $EG$ 的中点，求证：$MN//$ 平面 $CDE$；

(2) 求二面角 $E-BC-F$ 的正弦值；

(3) 若点 $P$ 在线段 $DG$ 上，且直线 $BP$ 与平面 $ADGE$ 所成的角为 $60^{\circ }$，求线段 $DP$ 的长.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：观察条件 $AD\perp CD$ 且 $DG\perp$ 平面 $ABCD$，说明 $DA,DC,DG$ 两两垂直。以 $D$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DG}$ 方向为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
2. 确定点坐标：利用长度关系（$DA=DC=DG=2$，其余按比例缩放）写出 $A,B,C,D,E,F,G$ 及中点 $M,N$ 的坐标。
3. 第一问：线面平行：求出平面 $CDE$ 的一个法向量 $\overrightarrow{n_0}$，证明 $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{n_0}=0$，且 $MN\not\subset$ 平面 $CDE$。
4. 第二问：二面角：分别求出平面 $BCE$ 和平面 $BCF$ 的法向量 $\vec{n},\vec{m}$，计算两法向量夹角的余弦值，再换算为二面角的正弦值。
5. 第三问：线面角求点位置：设 $P(0,0,h)$，写出 $\overrightarrow{BP}$。已知平面 $ADGE$ 的法向量（即 $\overrightarrow{DC}$ 方向），利用线面角公式 $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{BP},\vec{n}⟩|$ 列方程解出 $h$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $\frac{\sqrt{10}}{10}$

(3) $DP=\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 依题意，以 $D$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DG}$ 的方向为 $x,y,z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系。 可得各点坐标为：$D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),G(0,0,2),E(2,0,2)$。 由于 $AD//BC$ 且 $AD=2BC$，得 $B(1,2,0)$。 由于 $CD//FG$ 且 $CD=2FG$，得 $F(0,1,2)$。 中点坐标：$M(0,\frac{3}{2},1),N(1,0,2)$。

(1)证明： $\overrightarrow{DC}=(0,2,0),\overrightarrow{DE}=(2,0,2)$。 设 $\overrightarrow{n_0}=(x,y,z)$ 为平面 $CDE$ 的法向量，则 $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_0}\cdot \overrightarrow{DC}=2y=0\\ \overrightarrow{n_0}\cdot \overrightarrow{DE}=2x+2z=0\end{array}$。 令 $z=-1$，则 $x=1,y=0$，得 $\overrightarrow{n_0}=(1,0,-1)$。 又 $\overrightarrow{MN}=(1,-\frac{3}{2},1)$，则 $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{n_0}=1\times 1+(-\frac{3}{2})\times 0+1\times (-1)=0$。 因为直线 $MN\not\subset$ 平面 $CDE$，所以 $MN//$ 平面 $CDE$。

(2)解： $\overrightarrow{BC}=(-1,0,0),\overrightarrow{BE}=(1,-2,2),\overrightarrow{BF}=(-1,-1,2)$。 设平面 $BCE$ 的法向量 $\vec{n}=(x,y,z)$，由 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=0,\vec{n}\cdot \overrightarrow{BE}=0$ 得 $\vec{n}=(0,1,1)$。 设平面 $BCF$ 的法向量 $\vec{m}=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$，由 $\vec{m}\cdot \overrightarrow{BC}=0,\vec{m}\cdot \overrightarrow{BF}=0$ 得 $\vec{m}=(0,2,1)$。 $\cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩=\frac{\vec{m}\cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{2+1}{\sqrt{5}\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。 则 $\sin ⟨\vec{m},\vec{n}⟩=\sqrt{1-(\frac{3\sqrt{10}}{10}{)}^2}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。 所以，二面角 $E-BC-F$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$。

(3)解： 设 $P(0,0,h)$ ($h\in [0,2]$)，则 $\overrightarrow{BP}=(-1,-2,h)$。 平面 $ADGE$ 与 $xOz$ 平面重合，其法向量可取为 $\overrightarrow{DC}=(0,2,0)$。 设直线 $BP$ 与平面 $ADGE$ 所成角为 $\theta =60^{\circ }$，则： $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{DC}|}{|\overrightarrow{BP}||\overrightarrow{DC}|}=\frac{|-4|}{2\sqrt{1^2+2^2+h^2}}=\frac{2}{\sqrt{h^2+5}}$。 由 $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得 $\frac{2}{\sqrt{h^2+5}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 解得 $h^2=\frac{16}{3}-5=\frac{1}{3}⟹h=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 所以，线段 $DP$ 的长为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 坐标系建立的基准：寻找图形中的“三垂线”结构是坐标法的核心。本题中 $D$ 点出的三条射线是天然的坐标轴。
2. 法向量的选取：法向量不唯一，尽量选取分量中含有 0 或 1 的最简向量以减少后续计算负担。
3. 角度关系的转换：

• 二面角的余弦值对应法向量夹角的余弦值（注意判断锐钝）。
• 线面角的正弦值对应线方向向量与面法向量夹角的余弦绝对值。

🚀 【下一步建议】 需要我继续录入 第 18 题（解析几何：椭圆综合题） 的解析代码吗？

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-江西卷理-20
• 2008-浙江卷文-20 解-线面平行二面角
• 2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角