2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角

本题导读

以 $A$ 为原点建系，由 $n_1\cdot n_2=0$ 得 $u=v$ 即 $AB\perp BC$；$\sin \theta =\frac{u}{\sqrt{a^2+u^2}}=\cos \phi$，$\theta$、$\phi$ 均锐角，故 $\theta +\phi =\frac{\pi }{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(文)） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，平面 $A_{1}BC\perp$ 侧面 $A_{1}AB{B}_1$.

(1)求证：$AB\perp BC$；

(2)若 $A{A}_1=AC=a$，直线 $AC$ 与平面 $A_{1}BC$ 所成的角为 $\theta$，二面角 $A_1-BC-A$ 的大小为 $\phi$，求证：$\theta +\phi =\frac{\pi }{2}$.

🔍【思路分析】

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设 $A=(0,0,0)$、$B=(u,0,0)$、$C=(v,w,0)$、$A_1=(0,0,h)$；侧面 $A_{1}AB{B}_1$ 即平面 $y=0$，法向量 $(0,1,0)$；平面 $A_{1}BC$ 的法向量取 $A_{1}B\times A_{1}C$.第(2)问用 $\sin \theta$ 与 $\cos \phi$ 都等于 $\frac{u}{\sqrt{a^2+u^2}}$ 互余收口.

✅【答案】

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证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

建立空间直角坐标系，令 $A=(0,0,0)$，$B=(u,0,0)$，$C=(v,w,0)$，$A_1=(0,0,h)$，其中 $u>0$，$w\ne 0$，$h>0$. 直三棱柱中底面 $ABC$ 在平面 $z=0$ 内，侧面 $A_{1}AB{B}_1$ 在平面 $y=0$ 内. (1)平面 $A_{1}AB{B}_1$ 的一个法向量为 $n_1=(0,1,0)$. 又 $\overrightarrow{A_{1}B}=(u,0,-h)$，$\overrightarrow{A_{1}C}=(v,w,-h)$，故平面 $A_{1}BC$ 的一个法向量为 $n_2=\overrightarrow{A_{1}B}\times \overrightarrow{A_{1}C}=(hw,h(u-v),uw)$. 由平面 $A_{1}BC\perp$ 平面 $A_{1}AB{B}_1$，得 $n_1\cdot n_2=0$，即 $h(u-v)=0$. 因为 $h>0$，所以 $u=v$. 于是 $\overrightarrow{AB}=(u,0,0)$，$\overrightarrow{BC}=(v-u,w,0)=(0,w,0)$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$，即 $AB\perp BC$. (2)由(1)知 $v=u$. 又 $A{A}_1=AC=a$，所以 $h=a$，且 $u^2+w^2=A{C}^2=a^2$. 此时平面 $A_{1}BC$ 的一个法向量可取 $n=(a,0,u)$，而 $\overrightarrow{AC}=(u,w,0)$. 设直线 $AC$ 与平面 $A_{1}BC$ 所成的角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{\left|\overrightarrow{AC}\cdot n\right|}{\left|\overrightarrow{AC}\right||n|}=\frac{au}{a\sqrt{a^2+u^2}}=\frac{u}{\sqrt{a^2+u^2}}$. 在垂直于 $BC$ 的截面内，二面角 $A_1-BC-A$ 等于射线 $B{A}_1$ 与 $BA$ 的夹角. 这两条射线在该截面内的方向向量分别为 $(-u,a)$ 与 $(-u,0)$，故 $\cos \phi =\frac{u}{\sqrt{a^2+u^2}}$. 因此 $\sin \theta =\cos \phi$. 由于 $\theta$，$\phi$ 均为锐角，故 $\theta +\phi =\frac{\pi }{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直与空间向量法

核心方法：建系后用法向量：垂直即点乘为零；线面角取正弦、二面角取余弦，最后互余收口

避坑指南：平面 $A_{1}BC$ 的法向量要验证与两个向量都垂直；$\sin \theta$ 与 $\cos \phi$ 相等是因为它们都是锐角，结论 $\theta +\phi =\frac{\pi }{2}$ 不能只写”由图可知”

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：立体几何常规证明题的向量法示范（原答案即坐标法）

结论推广：面面垂直 $\Rightarrow$ 法向量垂直；线面角 $\sin \theta =\frac{|v\cdot n|}{|v||n|}$；二面角在棱的垂面内度量

方法推广：建系时把”直棱柱侧棱垂直底面”用足；法向量求出后代回验证与两个向量都垂直，防运算失误

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2011-湖北卷文-18 解-三棱柱垂直与二面角
• 2010-湖北卷文-18 解-线面垂直与线面角
• 2009-湖北卷文-18 解-四棱锥垂直与二面角
• 2008-湖北卷理-18