2018-江苏卷-07 填-三角函数性质

本题导读

本题考查三角函数的图像与性质，以及正弦函数的对称轴方程。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）已知函数 $y=\sin (2x+\phi )$ ($-\frac{\pi }{2}<\phi <\frac{\pi }{2}$) 的图象关于直线 $x=\frac{\pi }{3}$ 对称，则 $\phi$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确对称轴性质：对于正弦函数 $y=\sin (\omega x+\phi )$，其图象的对称轴必然经过波峰或波谷。因此，当 $x$ 取对称轴的值时，整体相位 $\omega x+\phi$ 必须等于 $\frac{\pi }{2}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)。
2. 代入已知条件：将对称轴 $x=\frac{\pi }{3}$ 代入整体相位，得 $2\times \frac{\pi }{3}+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)。
3. 求解 $\phi$ 的通项：化简得到 $\phi =-\frac{\pi }{6}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)。
4. 结合范围定值：利用已知范围 $-\frac{\pi }{2}<\phi <\frac{\pi }{2}$，对整数 $k$ 进行赋值筛选，找出唯一符合条件的 $\phi$ 值。

✅【答案】

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$-\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $-\frac{\pi }{6}$

【解析过程】 因为函数 $y=\sin (2x+\phi )$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi }{3}$ 对称， 所以当 $x=\frac{\pi }{3}$ 时，函数取得最值 $\pm 1$。 即 $\sin (2\times \frac{\pi }{3}+\phi )=\pm 1$。 根据正弦函数的性质，整体相位满足： $\frac{2\pi }{3}+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ 解得： $\phi =-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ 又因为题目限定了 $-\frac{\pi }{2}<\phi <\frac{\pi }{2}$，

• 当 $k=0$ 时，$\phi =-\frac{\pi }{6}$，满足条件；
• 当 $k=1$ 时，$\phi =\frac{5\pi }{6}$，不满足条件；
• 当 $k=-1$ 时，$\phi =-\frac{7\pi }{6}$，不满足条件。 故 $\phi =-\frac{\pi }{6}$。

故填入：$-\frac{\pi }{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 三角函数基本性质（模型 $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$）：

• 最值：$y_{\max }=A+B$，$y_{\min }=-A+B$ (假设 $A>0$)。
• 周期：$T=\frac{2\pi }{\omega }$。
• 对称轴：令 $\omega x+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)，解出 $x$。
• 单调性：增区间令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le \omega x+\phi \le \frac{\pi }{2}+2k\pi$；减区间令 $\frac{\pi }{2}+2k\pi \le \omega x+\phi \le \frac{3\pi }{2}+2k\pi$。

2. 易错点防范：切记对称轴对应的相位是 $\frac{\pi }{2}+k\pi$ 而不是 $k\pi$。$k\pi$ 是正弦函数图象与 $x$ 轴的交点（对称中心）对应的相位。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以建立如下对比表格，考前扫快速极大地防止记混：

函数类型	对称轴方程 (令整体相位=)	对称中心坐标 (令整体相位=)
$y=\sin X$	$X=k\pi +\frac{\pi }{2}$ (此时 $y=\pm 1$)	$(k\pi ,0)$ (此时 $y=0$)
$y=\cos X$	$X=k\pi$ (此时 $y=\pm 1$)	$(k\pi +\frac{\pi }{2},0)$ (此时 $y=0$)
$y=\tan X$	无对称轴	$(\frac{k\pi }{2},0)$
(注：$X$ 代表 $\omega x+\phi$，$k\in \mathbb{Z}$)

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012年上海卷理-21
• 2012年四川卷理-5
• 2008-湖北卷文-07 单-图象平移与对称轴