2008-湖北卷文-07 单-图象平移与对称轴

本题导读

平移后 $y=\sin \left(x-\theta -\frac{\pi }{3}\right)$，对称轴满足 $x-\theta -\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$，解得 $\theta =-\frac{7\pi }{12}-k\pi$，取 $k=-1$ 得 $\frac{5\pi }{12}$.

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(文)） 将函数 $y=\sin (x-\theta )$ 的图象 $F$ 向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度得到图象 $F^{\prime }$. 若 $F^{\prime }$ 的一条对称轴是直线 $x=\frac{\pi }{4}$，则 $\theta$ 的一个可能取值是()

A. $\frac{5\pi }{12}$　　　　　B. $-\frac{5\pi }{12}$　　　　　C. $\frac{11\pi }{12}$　　　　　D. $-\frac{11\pi }{12}$

🔍【思路分析】

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向右平移 $\frac{\pi }{3}$：$x$ 换为 $x-\frac{\pi }{3}$；对称轴处正弦值为 $\pm 1$.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

图象 $F$ 向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位后，$F^{\prime }:y=\sin \left[\left(x-\frac{\pi }{3}\right)-\theta \right]=\sin \left(x-\theta -\frac{\pi }{3}\right)$. $x=\frac{\pi }{4}$ 是对称轴，故 $\frac{\pi }{4}-\theta -\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$），即 $-\theta -\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{2}+k\pi$，$\theta =-\frac{7\pi }{12}-k\pi$. 取 $k=-1$，$\theta =-\frac{7\pi }{12}+\pi =\frac{5\pi }{12}$，选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数图象平移与对称轴

核心方法：平移是 $x$ 的替换，对称轴处 $\sin$ 取 $\pm 1$，解出通式再挑选项

避坑指南：向右平移是减；对称轴方程 $\frac{\pi }{4}-\theta -\frac{\frac{\pi }{3}}{1}=\frac{\pi }{2}+k\pi$ 里 $k$ 要遍历才能命中选项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材图象变换 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的变式

结论推广：已知对称轴求参数：令 $\omega x+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$；平移方向与 $x$ 的加减相反

方法推广：图象变换问题先写出变换后的解析式，再把几何条件（对称轴、对称中心）代数化

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷文-06 单-三角图象平移对称
• 2015-湖北卷文-18 解-五点法平移
• 2009-湖北卷文-07 单-图象平移奇函数
• 2010-湖北卷文-02 单-正弦型函数的周期