2018-江苏卷-16 解-同角三角关系

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系。核心在于配角法、齐次式代换的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）已知 $\alpha ,\beta$ 为锐角，$\tan \alpha =\frac{4}{3}$，$\cos (\alpha +\beta )=-\frac{\sqrt{5}}{5}$.

(1) 求 $\cos 2\alpha$ 的值；

(2) 求 $\tan (\alpha -\beta )$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：单角求二倍角

• 已知 $\tan \alpha =\frac{4}{3}$，要求 $\cos 2\alpha$。
• 思路一（解析法）：利用 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ 和 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 联立，求出 ${\cos }^2\alpha$，再代入 $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$。
• 思路二（齐次式快速求解）：$\cos 2\alpha =\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }$，分子分母同除以 ${\cos }^2\alpha$，转化为关于 $\tan \alpha$ 的表达式 $\frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }$，直接代入即可。

2. 第二问：巧妙配角求正切

• 目标是求 $\tan (\alpha -\beta )$，已知条件中包含 $\alpha$ 和 $\alpha +\beta$ 的信息。
• 观察角之间的加减关系：$(\alpha -\beta )=2\alpha -(\alpha +\beta )$。这是一个非常经典的配角结构！
• 因此，我们需要先求出 $\tan 2\alpha$ 和 $\tan (\alpha +\beta )$。
• $\tan 2\alpha$ 可由万能公式（二倍角正切）求出。
• $\tan (\alpha +\beta )$ 可由已知 $\cos (\alpha +\beta )$ 结合角所在的象限（锐角相加，余弦为负说明是钝角），求出正弦后再求得。
• 最后代入两角差的正切公式即可。

✅【答案】

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(1) $\cos 2\alpha =-\frac{7}{25}$

(2) $\tan (\alpha -\beta )=-\frac{2}{11}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 解法一： 因为 $\tan \alpha =\frac{4}{3}$，即 $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{4}{3}$，所以 $\sin \alpha =\frac{4}{3}\cos \alpha$。 又因为 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$， 代入得 $\frac{16}{9}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1⟹\frac{25}{9}{\cos }^2\alpha =1$， 所以 ${\cos }^2\alpha =\frac{9}{25}$。 因此，$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\times \frac{9}{25}-1=-\frac{7}{25}$。

解法二（推荐公式法）： $\cos 2\alpha =\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }=\frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }$ 将 $\tan \alpha =\frac{4}{3}$ 代入得： $\cos 2\alpha =\frac{1-\frac{16}{9}}{1+\frac{16}{9}}=\frac{-\frac{7}{9}}{\frac{25}{9}}=-\frac{7}{25}$

(2) 因为 $\alpha ,\beta$ 为锐角，即 $\alpha ,\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$，所以 $\alpha +\beta \in (0,\pi )$。 又因为 $\cos (\alpha +\beta )=-\frac{\sqrt{5}}{5}<0$，所以 $\alpha +\beta \in (\frac{\pi }{2},\pi )$。 因此，$\sin (\alpha +\beta )=\sqrt{1-{\cos }^2(\alpha +\beta )}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。 所以 $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}}=-2$。

由(1)知 $\tan \alpha =\frac{4}{3}$， 根据二倍角正切公式有： $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{2\times \frac{4}{3}}{1-\frac{16}{9}}=\frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}}=-\frac{24}{7}$

巧妙配角：$\alpha -\beta =2\alpha -(\alpha +\beta )$。 利用两角差的正切公式： $\tan (\alpha -\beta )=\tan [2\alpha -(\alpha +\beta )]$ $=\frac{\tan 2\alpha -\tan (\alpha +\beta )}{1+\tan 2\alpha \tan (\alpha +\beta )}$ $=\frac{-\frac{24}{7}-(-2)}{1+(-\frac{24}{7})\times (-2)}$ $=\frac{-\frac{10}{7}}{1+\frac{48}{7}}$ $=\frac{-\frac{10}{7}}{\frac{55}{7}}=-\frac{10}{55}=-\frac{2}{11}$

所以，$\tan (\alpha -\beta )=-\frac{2}{11}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 万能公式变形化简：在齐次式中，$\cos 2\alpha$ 和 $\sin 2\alpha$ 都可以直接用 $\tan \alpha$ 来表示，这比先求出具体的 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 要安全得多（可以避开正负号的讨论）。

• $\sin 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }$
• $\cos 2\alpha =\frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }$

2. 角范围的精确放缩：在已知三角函数值求角或求其它函数值时，务必先确定角的范围。本题中 $\cos (\alpha +\beta )$ 为负，结合两锐角之和，立刻锁定在第二象限，保证了正弦值为正。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累三角恒等变换中最核心的“变角”套路：

1. 差角组合：$\alpha =(\alpha +\beta )-\beta$
2. 和角组合：$\alpha =(\alpha -\beta )+\beta$
3. 倍角配凑：$2\alpha =(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )$
4. 互余互补：$2\beta =(\alpha +\beta )-(\alpha -\beta )$
5. 本题同款（高频）：$\alpha -\beta =2\alpha -(\alpha +\beta )$ 或 $\beta -\alpha =2\beta -(\alpha +\beta )$ 解题口诀：“已知求未知，未知向已知凑”。只要看到未知角，立刻尝试用已知角进行加、减运算组合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1993-新高考理-09
• 2002-北京卷理-08 单-三角恒等变换