2015-江苏卷-08 填-两角和差

本题导读

本题考查两角差的正切公式及其逆向运用。核心在于观察已知角与目标角的关系，通过“配角”技巧将目标角表示为已知角的差。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） 已知 $\tan \alpha =-2$，$\tan (\alpha +\beta )=\frac{1}{7}$，则 $\tan \beta$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 观察目标角：目标角是 $\beta$，已知角是 $\alpha$ 和 $(\alpha +\beta )$。
2. 构建联系：利用等式 $\beta =(\alpha +\beta )-\alpha$。
3. 应用公式：代入两角差的正切公式 $\tan (x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}$。
4. 代值计算：将已知数值代入公式，注意正负号和分式运算。

✅【答案】

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3

✍【详细解析】

Abstract

第一步：配角变形 由于 $\beta =(\alpha +\beta )-\alpha$， 则有： $\tan \beta =\tan [(\alpha +\beta )-\alpha ]$

第二步：展开公式 根据两角差的正切公式： $\tan \beta =\frac{\tan (\alpha +\beta )-\tan \alpha }{1+\tan (\alpha +\beta )\tan \alpha }$

第三步：代入已知数据 将 $\tan \alpha =-2$ 和 $\tan (\alpha +\beta )=\frac{1}{7}$ 代入上式： $\tan \beta =\frac{\frac{1}{7}-(-2)}{1+\frac{1}{7}\times (-2)}$ $\tan \beta =\frac{\frac{1}{7}+2}{1-\frac{2}{7}}$ $\tan \beta =\frac{\frac{15}{7}}{\frac{5}{7}}$ $\tan \beta =3$

答案：3

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：两角和与差的正切公式 $\tan (A\pm B)=\frac{\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\tan B}$。
• 核心方法：配角法。在三角变换中，若直接求解困难，应观察已知角通过加减运算能否得到目标角（如 $\alpha =(\alpha +\beta )-\beta$ 或 $2\alpha =(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )$）。
• 避坑指南：计算公式分母中的符号与分子相反。本题中分子为减，分母必为加，代入负值时要格外小心符号变化。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 两角和差正切公式是解决斜率、夹角及三角恒等变换的利器。 *方法推广: 遇到 $\tan A,\tan B$ 为方程根的问题，常结合韦达定理与此公式。

• 相关知识点：同角三角函数关系、两角和的正弦与余弦公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

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