2018-江苏卷-18 解-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于设而不求法、韦达定理法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C$ 过点 $\left(\sqrt{3},\frac{1}{2}\right)$，焦点 $F_1(-\sqrt{3},0),F_2(\sqrt{3},0)$，圆 $O$ 的直径为 $F_1{F}_2$.

(1) 求椭圆 $C$ 及圆 $O$ 的方程；

(2) 设直线 $l$ 与圆 $O$ 相切于第一象限内的点 $P$.

① 若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点，求点 $P$ 的坐标；

② 直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点.若 $△OAB$ 的面积为 $\frac{2\sqrt{6}}{7}$，求直线 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：求基本方程

• 圆 $O$ 的直径是焦点距 $2c=2\sqrt{3}$，故圆心在原点，半径 $r=\sqrt{3}$，直接写出圆方程。
• 椭圆中 $c=\sqrt{3}$，则 $a^2-b^2=3$。将点 $\left(\sqrt{3},\frac{1}{2}\right)$ 代入椭圆标准方程，结合 $a^2,b^2$ 的关系解出 $a^2$ 和 $b^2$ 即可。

2. 第二问：直线与圆锥曲线的联立

• 设切点写切线：设点 $P(x_0,y_0)$ 为切点（注意在第一象限，所以 $x_0>0,y_0>0$），由于点 $P$ 在圆 $x^2+y^2=3$ 上，所以 $x_0^2+y_0^2=3$。此时直线 $l$ 的方程可直接写为 $x_{0}x+y_{0}y=3$（或点斜式变形）。
• 联立方程：将直线 $l$ 的表达式代入椭圆方程，整理得到关于 $x$ 的一元二次方程。
• 处理第 ① 小问：直线与椭圆仅有一个公共点，说明直线也是椭圆的切线，故令判别式 $\Delta =0$。结合 $x_0^2+y_0^2=3$ 求出 $x_0,y_0$。
• 处理第 ② 小问：
  • 分析面积：$△OAB$ 的底边为弦长 $|AB|$，高为原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离。因为直线 $l$ 与圆 $O$ 相切，所以这个高恰好就是圆的半径 $r=\sqrt{3}$！
  • 面积转化：$S=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{6}}{7}$，求出弦长 $|AB|$ 的具体值。
  • 弦长公式：利用联立后的韦达定理，表达出 $|AB{|}^2=(1+k^2)[(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2]$，将其化简为只含 $x_0$ 的代数式。
  • 解方程：让代数式等于求出的 $|AB{|}^2$，解出 $x_0$，进而得到 $y_0$，最后写出直线方程。

✅【答案】

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(1) 椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$，圆 $x^2+y^2=3$

(2)(i) $P(\sqrt{2},1)$

(2)(ii) $y=-\sqrt{5}x+3\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 因为椭圆 $C$ 的焦点为 $F_1(-\sqrt{3},0),F_2(\sqrt{3},0)$， 可设椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$。 又点 $\left(\sqrt{3},\frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $C$ 上， 所以有方程组： $\{\begin{array}{l}\frac{3}{a^2}+\frac{1}{4b^2}=1\\ a^2-b^2=3\end{array}$ 将 $a^2=b^2+3$ 代入第一式，解得： $\{\begin{array}{l}{a}^2=4\\ b^2=1\end{array}$ 因此，椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。 因为圆 $O$ 的直径为 $F_1{F}_2$，所以圆的半径 $r=\frac{1}{2}|F_1{F}_2|=\sqrt{3}$，其圆心在原点。 所以圆 $O$ 的方程为 $x^2+y^2=3$。

(2) ① 设直线 $l$ 与圆 $O$ 相切于第一象限内的点 $P(x_0,y_0)(x_0>0,y_0>0)$， 则 $x_0^2+y_0^2=3$。 直线 $l$ 的斜率 $k=-\frac{x_0}{y_0}$，所以直线 $l$ 的方程为 $y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}(x-x_0)$， 即 $y=-\frac{x_0}{y_0}x+\frac{3}{y_0}$。 由 $\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+y^2=1\\ y=-\frac{x_0}{y_0}x+\frac{3}{y_0}\end{array}$，消去 $y$，得： $x^2+4{\left(-\frac{x_0}{y_0}x+\frac{3}{y_0}\right)}^2=4$ 化简整理得： $(4x_0^2+y_0^2)x^2-24x_{0}x+36-4y_0^2=0(\ast )$ 因为直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点， 所以 $\Delta =(-24x_0{)}^2-4(4x_0^2+y_0^2)(36-4y_0^2)=0$。 将 $y_0^2=3-x_0^2$ 结合进去化简，得： $\Delta =48y_0^2(x_0^2-2)=0$ 因为 $y_0>0$，所以 $x_0^2-2=0$，解得 $x_0=\sqrt{2}$（负值舍去）。 此时 $y_0^2=3-2=1⟹y_0=1$。 因此，点 $P$ 的坐标为 $(\sqrt{2},1)$。

② 因为 $△OAB$ 的面积为 $\frac{2\sqrt{6}}{7}$， 原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离即为圆的半径 $r=\sqrt{3}$（即 $△OAB$ 的高 $OP$）。 所以 $S_{△OAB}=\frac{1}{2}|AB|\cdot |OP|=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{6}}{7}$， 解得弦长 $|AB|=\frac{4\sqrt{2}}{7}$。

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$， 由 $(\ast )$ 式结合韦达定理得： $x_1+x_2=\frac{24x_0}{4x_0^2+y_0^2}$，$x_1{x}_2=\frac{36-4y_0^2}{4x_0^2+y_0^2}$。 直线 $l$ 的斜率 $k=-\frac{x_0}{y_0}$，则： $|AB{|}^2=(1+k^2)[(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2]=\left(1+\frac{x_0^2}{y_0^2}\right)\cdot \frac{\Delta }{(4x_0^2+y_0^2{)}^2}$ $=\frac{x_0^2+y_0^2}{y_0^2}\cdot \frac{48y_0^2(x_0^2-2)}{(4x_0^2+y_0^2{)}^2}$ 将 $x_0^2+y_0^2=3$ 和 $4x_0^2+y_0^2=3x_0^2+3=3(x_0^2+1)$ 代入上式： $|AB{|}^2=\frac{3}{y_0^2}\cdot \frac{48y_0^2(x_0^2-2)}{9(x_0^2+1{)}^2}=\frac{16(x_0^2-2)}{(x_0^2+1{)}^2}$ 因为 $|AB{|}^2={\left(\frac{4\sqrt{2}}{7}\right)}^2=\frac{32}{49}$，所以： $\frac{16(x_0^2-2)}{(x_0^2+1{)}^2}=\frac{32}{49}$ 即 $\frac{x_0^2-2}{(x_0^2+1{)}^2}=\frac{2}{49}$。 展开整理得方程： $2(x_0^2+1{)}^2=49(x_0^2-2)⟹2x_0^4-45x_0^2+100=0$ 因式分解得：$(2x_0^2-5)(x_0^2-20)=0$。 解得 $x_0^2=\frac{5}{2}$ 或 $x_0^2=20$。 因为 $P$ 在圆上，$x_0^2\le 3$，所以 $x_0^2=20$ 舍去。 故 $x_0^2=\frac{5}{2}$，此时 $y_0^2=3-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$。 因为 $P$ 在第一象限，所以 $x_0=\frac{\sqrt{10}}{2},y_0=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 此时直线 $l$ 的方程为：$\frac{\sqrt{10}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=3$，化简得 $y=-\sqrt{5}x+3\sqrt{2}$。

综上，直线 $l$ 的方程为 $y=-\sqrt{5}x+3\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 圆的切线方程（快速求解公式）：若点 $P(x_0,y_0)$ 在圆 $x^2+y^2=r^2$ 上，则过该点的切线方程直接写为 $x_{0}x+y_{0}y=r^2$。本题中如果直接设 $l:x_{0}x+y_{0}y=3$，代数变形会更加清晰对称。
2. 面积转化的思想：解析几何中求三角形面积，核心是寻找“定高”或“定底”。当直线与圆相切时，圆心到切线的距离（即半径）是天然的“定高”。直接把 $S$ 转化为弦长公式的计算，思路非常顺畅。
3. 韦达定理化简技巧：在计算弦长公式的最后阶段，不要急于展开。本题中利用了 $\Delta$ 在第一问已经算好的结果，并巧妙地将 $4x_0^2+y_0^2$ 整体替换为 $3(x_0^2+1)$，极大地降低了高次多项式的运算失误率。这就是“设而不求、整体代换”的威力。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中可以积累这个高级背景（仅供填空选择题快速求解）：

• 本题第 ① 问中，直线 $x_{0}x+y_{0}y=3$ 既是圆 $x^2+y^2=3$ 的切线，也是椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的切线（即公切线）。
• 根据椭圆切线方程公式：过椭圆上一点 $(m,n)$ 的切线为 $\frac{mx}{4}+ny=1$。
• 对比系数：$\frac{m/4}{x_0/3}=\frac{n}{y_0/3}=\frac{1}{1}$。由于切点必然重合（本题中只有一个公共点），其实 $(m,n)$ 就是 $(x_0,y_0)$。
• 也就是 $\frac{x_0}{4}=\frac{x_0}{3}\dots$ 等等，实际上这种“联立 $\Delta =0$”是最严谨的高考写法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程
• 2012-北京卷文-19 解-椭圆弦长面积