2018-浙江卷-07 单-分布列

本题导读

本题考查随机变量的分布列，以及数学期望的计算。

📌【题干】

Question

（2018年浙江卷）设 $0<p<1$，随机变量 $\xi$ 的分布列如下表：

|ξ|0|1|2|

|---|---|---|---|

|$P$|$\frac{1-p}{2}$|$\frac{1}{2}$|$\frac{p}{2}$|

则当 $p$ 在 $(0,1)$ 内增大时，()

A. $D(\xi )$ 减小　　　　　　　　　　　　　　　B. $D(\xi )$ 增大

C. $D(\xi )$ 先减小后增大　　　　　　　　　　　D. $D(\xi )$ 先增大后减小

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算期望 $E(\xi )$：根据公式 $E(\xi )=\sum x_i{p}_i$，将 $\xi$ 的取值与其对应的概率相乘并求和。

2. 计算方差 $D(\xi )$：利用公式 $D(\xi )=E({\xi }^2)-[E(\xi ){]}^2$ 或者定义式进行计算。通常使用 $E({\xi }^2)-[E(\xi ){]}^2$ 计算量相对较小。

3. 分析函数性质：得到 $D(\xi )$ 关于 $p$ 的解析式（通常是一个二次函数），通过对称轴位置和开口方向判断其在区间 $(0,1)$ 上的单调性。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

1. 求期望 $E(\xi )$：

$E(\xi )=0\times \frac{1-p}{2}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{p}{2}=\frac{1}{2}+p$。

2. 求 $E({\xi }^2)$：

$E({\xi }^2)=0^2\times \frac{1-p}{2}+1^2\times \frac{1}{2}+2^2\times \frac{p}{2}=\frac{1}{2}+2p$。

3. 求方差 $D(\xi )$：

$D(\xi )=E({\xi }^2)-[E(\xi ){]}^2$

$D(\xi )=(\frac{1}{2}+2p)-(\frac{1}{2}+p{)}^2$

$D(\xi )=\frac{1}{2}+2p-(\frac{1}{4}+p+p^2)$

$D(\xi )=-p^2+p+\frac{1}{4}$。

4. 分析单调性：

$D(\xi )$ 是关于 $p$ 的二次函数，开口向下，对称轴为 $p=-\frac{1}{2(-1)}=\frac{1}{2}$。

由于 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，所以当 $p$ 在 $(0,\frac{1}{2})$ 时，$D(\xi )$ 增大；当 $p$ 在 $(\frac{1}{2},1)$ 时，$D(\xi )$ 减小。

即 $D(\xi )$ 先增大后减小。

对照选项，正确答案为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 方差的意义：方差反映了随机变量取值的离散程度。在本题中，当 $p=1/2$ 时，两端的概率相等（均为 $1/4$），分布最均匀对称，此时方差达到最大。

2. 计算技巧：熟练运用 $D(\xi )=E({\xi }^2)-(E\xi {)}^2$ 可以避开定义式中繁琐的平方项展开，提高运算速度。

3. 二次函数模型：高考概率题经常结合函数性质（单调性、最值）进行考查，体现了数学知识的综合性。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以顺便复习以下特殊分布的方差公式：

• 二项分布 $\xi \sim B(n,p)$：$D\xi =np(1-p)$。

• 超几何分布：计算较复杂，通常直接用定义。

• 两点分布：$D\xi =p(1-p)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2004-重庆理-18 解-离散型随机变量的分布列

• 2005-江西卷理-19 解-离散型随机变量的分布列

• 2007-安徽卷理-20 解-数学期望计算