2007-安徽卷理-20 解-数学期望计算

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望。核心在于精准判定随机变量 $ξ$ （笼内剩下的果蝇只数）的可能取值，通过古典概型或超几何分布模型，计算出各取值对应的概率，进而求得期望值并进行条件概率比对。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有 6 只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有 8 只蝇子：6 只果蝇和 2 只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔. 以 $ξ$ 表示笼内还剩下的果蝇的只数.

(1) 写出 $ξ$ 的分布列 (不要写出计算过程);

(2) 求数学期望 $E ξ$ ;

(3) 求概率 $P (ξ \geq E ξ)$ .

🔍【思路分析】

破题导航

确定变量 $ξ$ 的取值范围：

当两只苍蝇最先飞出时，没有果蝇飞出，此时笼内剩下的果蝇最多， $ξ = 6$ 。

当两只苍蝇最后飞出时（排在第 7 和第 8 位），所有的 6 只果蝇一定都已经飞出了，此时笼内剩下的果蝇最少， $ξ = 0$ 。

因此，随机变量 $ξ$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 。

计算各取值对应的概率（倒序等可能性原理）：

笼子里共有 8 只蝇子，飞出的总顺序共有 $C_{8}^{2} = 28$ 种。

笼内“剩下 $k$ 只果蝇”，意味着在两只苍蝇全部飞出后，还有 $k$ 只果蝇没有飞出。也就是说，这 $k$ 只果蝇在总飞行序列中排在最后两只苍蝇的后面。

换句话说，最后两只苍蝇中的最后一只，必然排在从后往前数的第 $k + 1$ 位。那么另一只苍蝇则在它前面的 $8 - (k + 1) = 7 - k$ 个位置中任选一个。因此，对应的情况数直接等价于 $C_{7 - k}^{1} = 7 - k$ 。

求期望与目标概率：依据基本公式 $E ξ = \sum x_{i} P_{i}$ 计算期望，然后找出满足 $ξ \geq E ξ$ 的所有项，将概率求和。

✅【答案】

点击查看答案

所以𝑃(𝜉⩾𝐸(𝜉)) = 𝑃(𝜉⩾2) = 5 + 4 + 3 + 2 + 128= 15

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）笼内共有 8 只蝇子（6 只果蝇，2 只苍蝇），它们一只一只往外飞的总组合方案数（即2只苍蝇在8个位置中的分布）共有 $C_{8}^{2} = 28$ 种。以 $ξ$ 表示笼内还剩下的果蝇的只数，则 $ξ$ 的所有可能取值为 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 。

当笼内剩下 $k$ 只果蝇时（ $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ ），说明最后一只苍蝇排在倒数第 $k + 1$ 位，则第一只苍蝇在它前面的 $7 - k$ 个位置中任意排布，共有 $7 - k$ 种情况。因此，对应的古典概率公式为： $P (ξ = k) = \frac{7 - k}{C _{8}^{2}} = \frac{7 - k}{28}$

分别代入 $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 得到具体概率值：

$P (ξ = 0) = \frac{7}{28}$

$P (ξ = 1) = \frac{6}{28}$

$P (ξ = 2) = \frac{5}{28}$

$P (ξ = 3) = \frac{4}{28}$

$P (ξ = 4) = \frac{3}{28}$

$P (ξ = 5) = \frac{2}{28}$

$P (ξ = 6) = \frac{1}{28}$

$ξ$ 的概率分布列为：

$ξ$ 0 1 2 3 4 5 6
$P$ $\frac{7}{28}$ $\frac{6}{28}$ $\frac{5}{28}$ $\frac{4}{28}$ $\frac{3}{28}$ $\frac{2}{28}$ $\frac{1}{28}$

(注：可以将分数约分简写，此处为了方便后续求和保持同分母形态)

（2）根据离心型随机变量数学期望的定义式： $E ξ = \sum_{k = 0}^{6} k \cdot P (ξ = k)$ $E ξ = 0 \times \frac{7}{28} + 1 \times \frac{6}{28} + 2 \times \frac{5}{28} + 3 \times \frac{4}{28} + 4 \times \frac{3}{28} + 5 \times \frac{2}{28} + 6 \times \frac{1}{28}$ $E ξ = \frac{0 + 6 + 10 + 12 + 12 + 10 + 6}{28} = \frac{56}{28} = 2$

所以，数学期望 $E ξ = 2$ 。

（3）由（2）可知 $E ξ = 2$ ，则目标概率 $P (ξ \geq E ξ)$ 即为： $P (ξ \geq 2) = P (ξ = 2) + P (ξ = 3) + P (ξ = 4) + P (ξ = 5) + P (ξ = 6)$

根据分布列中对应的数值进行累加： $P (ξ \geq 2) = \frac{5}{28} + \frac{4}{28} + \frac{3}{28} + \frac{2}{28} + \frac{1}{28} = \frac{15}{28}$

所以，概率 $P (ξ \geq E ξ)$ 的值为 $\frac{15}{28}$ 。

$ξ$	0	1	2	3	4	5	6
$P$	$\frac{7}{28}$	$\frac{6}{28}$	$\frac{5}{28}$	$\frac{4}{28}$	$\frac{3}{28}$	$\frac{2}{28}$	$\frac{1}{28}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：离散变量取值边界的精确控制、复杂动态排布向古典概型位置模型的等价转换、期望公式的离散计算。

核心方法：位置分析法、对立事件化简法（第三问也可用 $1 - P (ξ = 0) - P (ξ = 1) = 1 - \frac{7}{28} - \frac{6}{28} = \frac{15}{28}$ 进行快速求解）。

避坑指南：

第一问确定概率时，切记分母是总组合数 $C_{8}^{2} = 28$ 。很多同学容易误用排列数或者把每次飞出当成独立事件，导致概率分母错误。

求解第三问时，优先看一眼用对立事件是否更简单。由于要加 5 项，而其对立面只有 0 和 1 两项，用 $1 - P (ξ < 2)$ 可以大幅减少计算量且绝不出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查离散型随机变量的分布列、超几何分布与古典概型，是安徽卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。

变式思考：本题的核心步骤（倒序分析法（对立位置映射）、离散分布列建模）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。

知识关联：离散型随机变量的分布列、超几何分布与古典概型相互关联，解答中综合运用了倒序分析法（对立位置映射）、离散分布列建模，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

23.03 离散型随机变量及其数字特征

23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

2008-大纲卷I理-20 解-古典概型

2015-重庆卷理-17 解-古典概型

2016-天津卷理-16 解-古典概型

∑ ( Math )

Explorer

2007-安徽卷理-20 解-数学期望计算

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks